在数学中，胡列维茨定理是代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论与同调论联系起来，是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以命名。
定理陈述
胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。
绝对版本
对于任意空间 X 和任意正整数 k ，都存在群同态（构造见本小节末尾）
:h_{\ast}\colon\, \pi_k(X) \to H_k(X) \,\!
称为从 k 阶同伦群到 k 阶（整系数）同调群的胡列维茨同态。当 k=1 且 X 道路连通时，胡列维茨同态等价于标准的阿贝尔化映射
:h_{\ast}\colon\, \pi_1(X) \to \pi_1(X)/[ \pi_1(X), \pi_1(X)] \to H_1(X) . \,\!
胡列维茨定理声明，若 X 是(n -1)-连通空间，那么对于所有 k\le n ，胡列维茨同态都是群同构（当 n\ge2 ）或阿贝尔化（当 n=1 ）。特别地，定理说明第一同伦群（即基本群）的阿贝尔化同构于第一同调群：
: H_1(X) \cong \pi_1(X)/[ \pi_1(X), \pi_1(X)] . \,\!
因此，如果 X 道路连通且 \pi_1(X) 是完美群，那么 X 的第一同调群为零。
此外，当 X 是(n -1)-连通时（ n\ge2 ），胡列维茨同态 \pi_{n+1}(X) \to H_{n+1}(X) 都是满同态（满射）。
胡列维茨同态由如下方式给定：设 u_n \in H_n(S^n) 为标准生成元，那么胡列维茨映射将同伦类 f \in \pi_n(X) 映射到 f_*(u_n) \in H_n(X)。
相对版本
三元版本
单纯集合版本
拓扑空间的胡列维茨定理对于n-连通、满足阚条件的单纯集合也有对应陈述。
有理胡列维茨定理
设 X 为单连通拓扑空间，并对于所有 i\le r 满足 \pi_i(X) \otimes \mathbb{Q} = 0 。那么胡列维茨映射
:h\otimes \mathbb{Q} : \pi_i(X)\otimes \mathbb{Q} \longrightarrow H_i(X;\mathbb{Q})
对于 1\le i\le 2r 为同构，且对于 i=2r+1 是满射。
参考资料
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