代数拓扑中，上积或杯积（cup product）是将两个度为p和q的上循环联接起来，形成度为p+q的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合（与分散）分次交换积，将空间X的上同调转变为分次环H^*(X)，称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大、爱德华·切赫与哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出，1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。
定义
奇异上同调中，上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环H^*(X)上的积。
构造始于上链之积：若\alpha^p是p上链，且\beta^q是q上链，则
:(\alpha^p \smile \beta^q)(\sigma) = \alpha^p(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot \beta^q(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})
其中σ是奇异 (p + q)-单纯形， S \subset \{0,1,...,p+q \} , \iota_S
是S张成的单纯形规范嵌入(p+q)-单纯形，后者的顶点索引为\{0,...,p+q \}。
非正式地， \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}是σ的第p个正面（front face），\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}是σ的第q个背面（back face）。
上链\alpha^p与\beta^q的上积的上边缘（coboundary）为
:\delta(\alpha^p \smile \beta^q) = \delta{\alpha^p} \smile \beta^q + (-1)^p(\alpha^p \smile \delta{\beta^q}).
两个上循环的上积仍是上循环，上边缘与上循环（任意顺序）的积仍是上边缘。上积在上同调中引入了双线性运算
: H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X).
性质
上同调中的上积满足以下特性
:\alpha^p \smile \beta^q = (-1)^{pq}(\beta^q \smile \alpha^p)
因此相应的乘法是分次交换的。
上积的函子性体现在以下方面：若
:f\colon X\to Y
是连续函数，
:f^\colon H^(Y)\to H^*(X)
是上同调中的诱导同态，则
:f^(\alpha \smile \beta) =f^(\alpha) \smile f^*(\beta),
对H^(Y)中所有类α、β。也就是说，f 是（分次）环同态。
解释
可将上积 \smile \colon H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X)视作由下面的组合诱导而来： \displaystyle C^\bullet(X) \times C^\bullet(X) \to C^\bullet(X \times X) \overset{\Delta^*}{\to} C^\bullet(X)
以X与X \times X的链复形表示，其中第一个映射是克奈映射，第二个映射由对角 \Delta \colon X \to X \times X诱导。
这个构成传给商，便给出了良定义的上同调映射，这就是上积。这种方法解释了上同调上积的存在，但没有解释同调上积： \Delta \colon X \to X \times X诱导了映射\Delta^ \colon H^\bullet(X \times X) \to H^\bullet(X)，但还会诱导映射\Delta_ \colon H_\bullet(X) \to H_\bullet(X \times X)，后者与我们定义积的方法相反。不过，这在定义下积时是有用的。
上积的这种表达体现了双线性，即 (u_1 + u_2) \smile v = u_1 \smile v + u_2 \smile v ； u \smile (v_1 + v_2) = u \smile v_1 + u \smile v_2.
例子
上积可用来区分流形和具有相同上同调群的空间之楔。空间X:= S^2\vee S^1\vee S^1与环面T具有相同的上同调群，但具有不同的上积。在X的情况下，与 S^1相关的上链的乘法是退化的；而在T中，第一个上同调群中的乘法可用于将环面分解为2胞图，从而使积等于Z（更一般地说是M，此处是基模）。
其他定义
上积与微分形式
在德拉姆上同调中，微分形式的上积由楔积导出。即，两个闭微分形式的楔积属于两个原德拉姆类的上积的德拉姆类。
上积与几何相交
可用链的补上的非零上积定义。这两个链循环在 \mathbb{R}^3变形中的补退化为环面和2球的楔和，其有度为1、不为零的上积。]]
对于定向流形，有几何启发式，即“上积与相交是对偶的”。
令M为n维定向光滑流形。若两个余维分别是i、j的子流形A,B横截着交，那么它们的交A \cap B又是余维是i + j的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含（inclusion）之中，就可以得到同调上的双线性积，与上积是庞加莱对偶的，即取庞加莱对[A]^, [B]^ \in H^{i},H^{j}则有以下等式：
[A]^ \smile [B]^=[A \cap B]^* \in H^{i+j}(X, \mathbb Z).
同样，环绕数也可用交来定义，将维数移动1，或者用链之补上的非零上积来定义。
梅西积
推广了上积，允许定义“高阶环绕数“，即米尔诺不变量。]]
上积是二元运算。可以定义三元甚至多元的高阶运算，称作梅西积，是上积的推广。它是一种高阶上同调运算，目前只定义了一部分（只定义了部分三元运算）。
另见
*奇异同调
*同调
*下积
*梅西积
参考文献
- James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) (hardcover) (paperback)
- Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993)
- Allen Hatcher, "[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic Topology] ", Cambridge Publishing Company (2002)
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