弗勒利歇尔-奈恩黑斯括号
在数学中，弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号（）是光滑流形上向量场的李括号到向量值微分形式的推广。它在研究联络，特别是埃雷斯曼联络，以及更一般的研究切丛的投影中很有用。此括号由阿尔弗雷德·弗勒利歇尔与于1956年引入，与斯豪滕1940年的工作有联系。 它与奈恩黑斯-理查德森括号和斯豪滕-奈恩黑斯括号相关但不是一回事。 定义 设 Ω(M) 是光滑流形 M 上微分形式的外代数。这是一个分次代数，其次数由形式的阶数给出： :\Omega^(M) = \…
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共 22 篇文章
张量积
在数学中，张量积，记为 \otimes，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。 向量空间张量积的定义与构造 两个向量空间 和 间的张量积是指一个向量空间，通常记作 ，这个新向量空间可确定到至多相差一个同构。 有多种等价的方式来定义向量空间的张量积，其中大多数都是在显式地定义那个将被称作张量积 的向量空间，而对等价性的…
阿達瑪乘積 (矩陣)
在数学中，阿达玛乘积 （，又译哈达玛乘积），又名舒尔乘积（）或逐项乘积（），是一个二元运算，其输入为两个相同形状的矩阵，输出是具有同样形状的、各个位置的元素等于两个输入矩阵相同位置元素的乘积的矩阵。此乘积归功于法国数学家雅克·阿達馬或德国数学家，并以其命名。 定义 若两个矩阵A和B具有相同的维度m \times n，则它们的阿达玛乘积 A \circ B 是一个具有相同维度的矩阵，其元素值为： :(A \circ B)_{ij} = (…
半直积
在數學中，特別抽象代數裏的群論中，半直積（）是從其中一個是正規子群的兩個子群形成一個群的特定方法。半直積是直積的推廣。半直積是作為集合的笛卡爾積，但帶有特定的乘法運算。 内半直积 定义 令 G 为群， N 为 G 的一个正规子群， H 是 G 的一个子群。下列命题等价: G = NH 且 N \cap H = \{e\} （ e 是 G 的單位元） G 的每个元素可以唯一表示為 H 的一个元素和 N 的一个元素的积 自然的嵌入 H \r…
狄利克雷摺積
在算術函數集上，可以定義一種二元運算，使得取這種運算為乘法，取普通函數加法為加法，使得算術函數集為一個交換環。其中一種這樣的運算便是狄利克雷摺積。它和一般的卷积有不少相類之處。 對於算術函數f,g，定義其狄利克雷摺積(f g)(n) = \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})。 取狄利克雷摺積為運算，積性函數集是算術函數集的子群。 運算 交換律f g = g f 結合律(f g) h = f (g h) 分配律f …
上积
代数拓扑中，上积或杯积（cup product）是将两个度为p和q的上循环联接起来，形成度为p+q的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合（与分散）分次交换积，将空间X的上同调转变为分次环H^(X)，称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大、爱德华·切赫与哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出，1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。 定义 奇异上同调中，上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环H^(X)上的积。 构造始于上链之…
最大公因數
最大公因-{}-數（，）也稱最大公約-{}-數（，）是數學詞彙，指能够整除多個非零整數的最大正整数。例如8和12的最大公因数为4。 最大公因数的值至少為1，例如\gcd(3,7) = 1；最大則為該組整數中絕對值最小的絕對值，例如\gcd(3,9) = 3和\gcd(-3,9) = 3。 求兩個整數最大公因數主要的方法： 列舉法：分別列出兩整數的所有因數，並找出最大的公因數。 質因數分解：分別列出兩數的質因數分解式，並計算共同項的乘積。…
斯豪滕-奈恩黑斯括号
在微分几何中，斯豪滕–奈恩黑斯括号（，国际音标：），也称为斯豪滕括号，是定义在光滑流形上的多重向量场上的一种分次李括号，推广了向量场的李括号。有两种不同的版本，让人相当不解地是有相同的名字。最通常的版本是定义在交错多重向量场上，使得其成为一个格尔斯滕哈伯代数；但另一个版本定义在对称多重向量场上，这或多或少与余切丛上的泊松括号相同。它由在1940年与1953年发现，其性质为他的学生在1955年研究。它与奈恩黑斯-理查德森括号及弗勒利歇尔-…
逻辑异或
]] 在-{zh-hant:數位;zh-hans:数字}-逻辑中，逻辑算符互斥或（）是对两个运算元的一种邏輯分析类型。与一般的邏輯或不同，當兩兩數值相同時為否，而數值不同時為真。 对于命题 p, q，p异或q通常记作p \operatorname{XOR} q或p \oplus q。在编程语言中，常写作p ^ q。 逻辑异或相当于逻辑不等价，或者说逻辑异或的逻辑非是逻辑等价。 真值表 异或运算p \oplus q的真值表如下： 无论怎样…
交集
在集合论和数学中，两个集合A和B的交集（Intersection）是含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素的集合。 有限交集 交集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 A \cap B ： : (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{ (x \in A \cap B) \Leftrightarrow \left[ (x \in A) \wedge (x \in B) \ri…
原群
原群（）是抽象代數领域中一種基本代數結構。原群定义为一個集合和这个集合上满足封閉性的一个二元運算，即：对于集合M和M上的一个二元运算\bullet，若满足M中的任意两个元素经过\bullet作用，得到的结果仍在M中，则称它们构成一个原群，记作(M,\bullet)。 類型 通常，人们不研究原群，而是研究对原群添加约束而引申的各类群，包括： 擬群－可除總是可能的非空原群； 環群－有單位元的擬群； 半群－運算為可結合的原群； 么半群;}-－…
外积 (张量积)
外积（），在线性代数中一般指两个向量的张量積，其結果為一矩陣；與外积相對，兩向量的內積結果為純量。 外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到：一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。 矩阵乘法定义 向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。 给定m\times 1 列向量\mathbf{u}和1 \times n 行向量\mathbf{v}，它们的外积\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}被定义为m\tim…
克罗内克积
数学上，克罗内克积（）是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为⊗。简单地说，就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广，也是张量积在标准基下的矩阵表示。 尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人，克罗内克积还是以其名字命名。在历史上，克罗内克积曾以約翰·格奧爾格·澤哈斯（Johann Georg Zehfuss）名字命名为澤哈斯矩阵。 定义 如果A是一个 m × …
逻辑或非
]] 在布尔逻辑运算中，逻辑或非（NOR）的结果是逻辑或的反面。也就是说，p NOR q真，当且仅当p与q都假时才成立。 逻辑或非是对于命题之间的运算，两个参数均假时结果才真；反之，两个参数中至少有一个为真时，结构就为假。 真值表 逻辑或非的真值表如下： 韦恩图 逻辑或非的韦恩图如下： 一种表示p NOR q的方法是\overline{p \lor q}，其中符号\lor是逻辑或的符号。 性质 逻辑或非拥有一独特的性质，即其他所有逻辑运…
矩陣加法
在數學裡，矩陣加法一般是指兩個矩陣把其相對應元素加在一起的運算。但有另一運算也可以認為是一種矩陣的加法。 個別元素相加（減） 通常的矩陣加法被定義在兩個相同大小的矩陣。兩個m×n矩陣A和B的和，標記為A+B，一樣是個m×n矩陣，其內的各元素為其相對應元素相加後的值。例如： : \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ …
二元运算
二元运算是種数学运算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西，即元数为2的运算。比如說，兩個整數的加法是二元运算，因整數相加以後仍然是整數。 定义 如果從集合 A 對自己的笛卡儿积 （也就是 A \times A ）取出的任意 (a,\,b) ，都會對應 A的某個值 \mathrm{F}(a,\,b) ，那對應規則 \mathrm{F} 的本身就被稱為二元運算。 \mathrm{F}(a,\,b) 通常写为 a\mathrm{F}b ，…
直积
在數學中，經常通过定義已知對象的直積（direct product）來給出新對象。常见的直积有：集合的直積，群的直積，環的乘積和其他代數結構的直積。拓撲空間的直積是另一個例子。 例子 如果我們認 \mathbb{R} 為實數的集合，則直積 \mathbb{R}\times \mathbb{R} 完全就是笛卡爾積 \{ (x,y) | x,y \in \mathbb{R} \}。 如果我們認 \mathbb{R} 為實數集在加法下的群，則…
圓周摺積
兩個函數的圓周摺積是由他們的週期延伸所來定義的。週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來，所產生的新函數。x(t) 的週期延伸可以寫成 :x_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t - kT) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(t + kT). 兩個函數 x(t) 與 h(t) 的圓周摺積 (x…
拉格朗日括号
拉格朗日括号是一种与泊松括号关系密切的运算，1808年至1810年间由约瑟夫·拉格朗日最早用于经典力学之中。不过与泊松括号相比，拉格朗日括号在今日已不常使用。 定义 令(q1, …, qn, p1, …, pn)为相空间中的正则坐标，且每一个坐标都可表示为两个变量u与v的函数，则u和v的拉格朗日括号为： : [ u, v ]_{p,q} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial q_i}{\partial …
奈恩黑斯-理查德森括号
数学中，代数括号（）或奈恩黑斯–理查德森括号（）是一个向量空间到自身的交替多重线性形式上的一个分次李代数结构。这是由 A. Nijenhuis 与 R. W. Richardson, Jr 在(1966, 1967) 二文中引入的，它与 弗勒利歇尔-奈恩黑斯括号和斯豪滕-奈恩黑斯括号有关，但不一样。 定义 引入此括号最初动机是为讨论一个向量空间上所有可能的李代数结构以及随后的这些结构的形变发展一个统一的框架。如果 V 是一个向量空间，p…