算術函數
在數論上，算術函數（或稱數論函數）指定義域為正整數、陪域為複數的函數，即f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow\mathbb{C}。每個算術函數都可視為複數的序列。 最重要的算術函數是積性及加性函數。算術函數的最重要操作為狄利克雷卷积，對於算術函數集，以它為乘法，一般函數加法為加法，可以得到一個阿貝爾環。 而且，由于fg=0能够推出f=0或g=0，所以这一交换环是整环(Integral Domain)，详见GTM16…
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共 10 篇文章
真因數和
真因數和，又稱真因子和，在數論中，一個正整數的所有真因數之和，即除了自己本身外的所有正因數之和，通常以s(n)來表示： :s(n)=\sum_{d|n,\ d\ne n}d. 真因數和可以用來描述質數、完全数、相親數鏈、亏数、过剩数和不可及数，也可以用於定義整數的真因數和數列。 真因數和函數s(n)與1次除數函數\sigma_1(n)的關係僅差n： :s(n)=\sigma_1(n)-n 例子 以12為例，12的真因數（即除了自己本身外…
馮·曼戈爾特函數
馮·曼戈爾特函數（Von Mangoldt function）\Lambda(n)是一個算術函數，它出現在質數定理的研究中，以提出的19世紀數學家漢斯·馮·曼戈爾特命名。這個函數是算術函數中一個既非積性函數也非加性函數的例子。 定義 若n是質數冪，\Lambda(n)則等於該個質數的自然對數，即\Lambda(p^k) = \log(p)。若n不是質數冪，\Lambda(n)=0。 以公式表示，可記如下： :\Lambda(n) = \…
高斯圓問題
數學中，高斯圓問題（）問以原點為中心，r為半徑的圓內，有多少個。答案與圓的面積相近，因此，真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾·弗里德里希·高斯。 問題 考慮\mathbb{R}^2中以原點為中心和以r\ge 0為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點(m,n)使m和n都是整数。由於在笛卡爾坐標系中，這個圓的方程式是x^2+y^2= r^2，問題等價於詢問有多少對整數m和n使得 : m^2+n^2\le…
切比雪夫函數
在數學上，切比雪夫函數（Chebyshev Function）可指一個標量化函數（切比雪夫加權標量化函數），或兩個彼此相關的函數的其中之一。 切比雪夫第一函數（First Chebyshev Function）在文獻中一般記做\vartheta(x)或\theta(x)，其形式如下： :\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p 其中\log是自然對數，而切比雪夫第一函數就是所有小於等於的質數的自然對數的總…
狄利克雷摺積
在算術函數集上，可以定義一種二元運算，使得取這種運算為乘法，取普通函數加法為加法，使得算術函數集為一個交換環。其中一種這樣的運算便是狄利克雷摺積。它和一般的卷积有不少相類之處。 對於算術函數f,g，定義其狄利克雷摺積(f g)(n) = \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})。 取狄利克雷摺積為運算，積性函數集是算術函數集的子群。 運算 交換律f g = g f 結合律(f g) h = f (g h) 分配律f …
積性函數
在數論中，積性函數是指一個定義域為正整數n 的算術函數f(n)，有如下性質：f(1) = 1，且當a 和b 互質時，f(ab) = f(a) f(b)。 若一個函數f(n) 有如下性質：f(1) = 1，且對兩個隨意正整數a 和b 而言，不只限這兩數互質時，f(ab) = f(a)f(b) 都成立，則稱此函數為完全積性函數。 在數論以外的其他數學領域中所談到的積性函數通常是指完全積性函數。此條目則只討論數論中的積性函數。 例子 \var…
柯西函數方程
柯西函數方程是以下的函數方程： : f(x+y)=f(x)+f(y) \ 此方程的解被稱為加性函數。 方程的解 在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為 f(x) = cx \ ，其中c任意給定的有理數。 在實數中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如： 若 f 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化，證明 f 只需要在一點連…
加性函數
在代數的領域，加性函數指有對於任何a,b都有性質f(a+b)=f(a)+f(b)的函數(該性質即柯西函數方程)。 以下討論在數論中的加性函數：對於正整數n的一個算術函數f(n)，當中f(1)=1且當a,b互質，f(ab)=f(a)+f(b)，在數論上就稱它為加性函數。若某算術函數f(n)就算a,b不互質，f(ab)=f(a)+f(b)，稱它為完全加性的。 例子 Ω(n)—n的所有質因子數目。特別的是因為1無任何質因子，Ω(1)=0。 ω…
貝爾級數
貝爾級數是數論上一種研究算術函數的工具。它是形式幂级数。 給定算術函數f和質數p，*f模p的貝爾級數為 f_p(x) = \sum_{i=0}^\infty f(p^n) x^n 唯一定理：對於任意質數p，若兩個積性函數模p的貝爾級數都相等，則這兩個函數是相等的。 對於兩個算術函數的狄利克雷卷積，有{(fg)_p}(x) = f_p(x) \times g_p(x)。 一個完全積性函數的貝爾級數為幾何級數：f_p(x) = \frac{…