切比雪夫函數

在數學上，切比雪夫函數（Chebyshev Function）可指一個標量化函數（切比雪夫加權標量化函數），或兩個彼此相關的函數的其中之一。

切比雪夫第一函數（First Chebyshev Function）在文獻中一般記做\vartheta(x)或\theta(x)，其形式如下：

:\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p

其中\log是自然對數，而切比雪夫第一函數就是所有小於等於的質數的自然對數的總和。

切比雪夫第二函數（Second Chebyshev Function）在文獻中一般記做\psi(x)，其定義類似，為所有小於等於的質數的冪的自然對數的總和，而其形式如下：

:\psi(x) = \sum_{k \in \mathbb{N}}\sum_{p^k \le x}\log p = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p \le x}\left\lfloor\log_p x\right\rfloor\log p,

其中\Lambda是馮·曼戈爾特函數。切比雪夫函數，尤其切比雪夫第二函數\psi(x)，經常出現於與質數相關的數學證明中，而這是因為這些函數比質數計數函數\pi(x)還容易處理之故。可見下等式一節說明。

切比雪夫第一及第二函數都與呈現漸近關係，而這點等價於質數定理。

除了上述的切比雪夫第一及第二函數外，還有個與上述無關無關的切比雪夫加權標量化函數（Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function）或切比雪夫效用函數（Chebyshev utility function），其形式如下：

:f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i f_i(x).

藉由最小化這方程式不同w的數值，可得到的每個點，甚至是非凸性的部分。

這三個函數皆以帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫為名，唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數，切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關，也不會出現在接下來的討論中。

切比雪夫第一及第二函數的關係
切比雪夫第一及第二函數彼此相關，要驗證這點，可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式：

:\psi(x) = \sum_{p \le x}k \log p

其中是使得p^k \le x 的唯一整數，而的值可參見。一個更直接的關係如下：

:\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty \vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big).

注意的是和的後半段只有有限多個非零數值，而這是因為有下式之故：

:\vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big) = 0\quad \text{for}\quad n>\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}.

切比雪夫第二函數是從1到所有數的最小公倍數的自然對數：

:\operatorname{lcm}(1,2,\dots,n) = e^{\psi(n)}.

對於而言，的值可參見。

以下定理將\frac{\psi(x)}{x}及\frac{\vartheta(x)}{x}這兩個分數給聯繫起來。

定理：若x>0則有

:0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}.

注意：從此不等式可推出

:\lim_{x\to\infty}\!\left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)\! = 0.

換句話說，若\psi(x)/x或\vartheta(x)/x其中一個趨近某個極限，則另一個也是如此，也就是兩者的極限相等。

證明：由於\psi(x)=\sum_{n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n})，因此有

:0 \leq \psi(x)-\vartheta(x)=\sum_{2\leq n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n}).

而由\vartheta(x)的定義，可得以下明顯的不等式：

:\vartheta(x)\leq \sum_{p\leq x}\log x\leq x\log x

因此有

:\begin{align}
0\leq\psi(x)-\vartheta(x)&\leq \sum_{2\leq n\leq \log_2 x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\
&\leq(\log_2 x)\sqrt{x}\log\sqrt{x}\\
&=\frac{\log x}{\log 2}\frac{\sqrt{x}}{2}\log x\\
&=\frac{\sqrt{x}\,(\log x)^2}{2\log 2}.
\end{align}

最後，將此不等式兩邊除以x，即可得定理的不等式。

漸近關係及上下界
對於切比雪夫函數，有以下已知的界線。其中是第個質數，也就是、等等：

:\begin{align}
\vartheta(p_k) &\ge k\left( \log k+\log\log k-1+\frac{\log\log k-2.050735}{\log k}\right)&& \text{for }k\ge10^{11}, \\[8px]
\vartheta(p_k) &\le k\left( \log k+\log\log k-1+\frac{\log\log k-2}{\log k}\right)&& \text{for }k \ge 198, \\[8px]
|\vartheta(x)-x| &\le 0.006788\,\frac{x}{\log x}&& \text{for }x \ge 10\,544\,111, \\[8px]
|\psi(x)-x|&\le0.006409\,\frac{x}{\log x}&& \text{for } x \ge e^{22},\\[8px]
0.9999\sqrt{x} &

Ghosh在2019年證明了以下和切比雪夫第一函數\vartheta(x)相關的陳述：

對於任意的n\ge6，有以下關係：

: n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{4\log^2{n}})

使用小o符號，則可表如下式：

: \frac{\vartheta(p_n)}{\log{p_{n+1}}} = n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{\log^2{n}}(1+o(1)))

若p_n為第個質數，則切比雪夫第一函數\vartheta(x)為質數階乘的對數，也就是說，若N_n=\prod_{i=1}^{n}p_i是最初個質數的質數階乘，則\vartheta(x)=\log{N_n}。

此外，若是一個超過剩數，且最大的質因數為，那麼切比雪夫第二函數\psi(x)與超過剩數之間有以下關係式：

:\psi(p)

以及

:\lim_{n\to\infty}\frac{\psi(p)}{\log{n}}=1

此外，若黎曼猜想成立，則對於任意的\varepsilon > 0而言，有以下關係式：

:\begin{align}
|\vartheta(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big) \\
|\psi(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big)
\end{align}

Schoenfeld在1976年證明了在黎曼猜想成立的狀況下，有以下關係式：

:\begin{align}
|\vartheta(x)-x| &

對任意的x > 0而言，切比雪夫第一函數\vartheta(x)及第二函數\psi(x)有以下的上界：

:\begin{align} \vartheta(x)&

對於1.03883這常數的解釋，可見的說明。

等式
1895年，漢斯·馮·曼戈爾特證明了\psi(x)有以下作為黎曼ζ函數非平凡零點和的：

:\psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \tfrac{1}{2} \log (1-x^{-2}).

其中的數值為、遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點，而是一個與類似的函數，但差別是其在跳躍不連續點（質數的冪）的取值為其左邊與右邊值的中間：

:\psi_0(x)
= \frac{1}{2}\!\left( \sum_{n \leq x} \Lambda(n)+\sum_{n

就自然對數的泰勒展開式而言，解析解的最後一項可理解為對黎曼ζ函數平凡零點的求和。也就是說，

:\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{-2k}}{-2k} = \tfrac{1}{2} \log \left( 1 - x^{-2} \right).

類似地，此公式第一項對應到黎曼ζ函數在1的單純極點。這部分作為極點而非零點的事實，說明了項的變號。

性質
一個由埃哈德·施密特證明的結果指稱，對於某個特定的正常數，存在有無限多個正整數使得

:\psi(x)-x

同時有無限多個正整數使得

:\psi(x)-x > K\sqrt{x}.

使用小符號，可將上式重述為

:\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\right).

哈代與李特爾伍德證明了一個更強的結果，表述如下：

:\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\log\log\log x\right).

也就是說有無限多的正整數，使得\psi(x)與之間的差的絕對值超過\sqrt{x}\,\log\log\log x。

與質數階乘的關係
切比雪夫第一函數也是的質數階乘的對數：

:\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p = \log \prod_{p\le x} p = \log\left(x\#\right).

這說明了質數階乘漸近地等於，其中是小符號（見大O符號一文的說明），而這點與質數定理共同確立了的漸近行為。

與質數計數函數間的關係
切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數發生關係。定義

:\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\Lambda(n)}{\log n}.

那麼有

:\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{dt}{t \log^2 t} + \frac{1}{\log x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\log x}.

從到質數計數函數間的轉換可由下式表示：

:\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi\left(\sqrt{x}\,\right) + \tfrac{1}{3} \pi\left(\sqrt[3]{x}\,\right) + \cdots

由於很明顯地，有之故，因此為了估計的目的，最後的關係式可重述如下：

:\pi(x) = \Pi(x) + O\left(\sqrt{x}\,\right).

黎曼猜想
黎曼猜想指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為。在這種狀況下，有，且可證明說

:\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} = O\!\left(\sqrt{x}\, \log^2 x\right).

由上式可推得

:\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\!\left(\sqrt{x}\, \log x\right).

平滑化函數
平滑化切比雪夫函數定義如下：

:\psi_1(x) = \int_0^x \psi(t)\,dt.

顯然有\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.

參考資料

• , "Estimates of some functions over primes without R.H.".
• Pierre Dusart, "Sharper bounds for , , , ", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The th prime is greater than for ", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
• Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
• G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
• (2000). 可見於《[https://books.google.com/books?id=U91lsCaJJmsC&pg=PA104 Multiplicative Number Theory] 》一書。 Springer. p. 104. . Google Book Search.

額外補充
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外部連結
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• [http://www.math.ucsb.edu/~stopple/explicit.html Riemann's Explicit Formula] , with images and movies