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馮·曼戈爾特函數

Wikipedia · 2026-07-28 维基百科 👁 1 阅读

馮·曼戈爾特函數（Von Mangoldt function）\Lambda(n)是一個算術函數，它出現在質數定理的研究中，以提出的19世紀數學家漢斯·馮·曼戈爾特命名。這個函數是算術函數中一個既非積性函數也非加性函數的例子。

定義
若n是質數冪，\Lambda(n)則等於該個質數的自然對數，即\Lambda(p^k) = \log(p)。若n不是質數冪，\Lambda(n)=0。

以公式表示，可記如下：
:\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{if }n=p^k \text{ for some prime } p \text{ and integer } k \ge 1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}

\Lambda(n)對最初九個正整數的值分別如下：

:0 , \log 2 , \log 3 , \log 2 , \log 5 , 0 , \log 7 , \log 2 , \log 3,\dots

這些數值和有關。

性質
這個函數滿足以下恆等式：
: \sum_{d|n} \Lambda(n) = \log(n)

這和遍歷所有可整除的正整數，這點可由算術基本定理證明，而這是因為就這函數的定義而言，不是質數的冪的值都為零之故。像例如說，設，則有
:\begin{align}
\sum_{d \mid 12} \Lambda(d) &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda(4) + \Lambda(6) + \Lambda(12) \\
&= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(3) + \Lambda \left (2^2 \right ) + \Lambda(2 \times 3) + \Lambda \left (2^2 \times 3 \right) \\
&= 0 + \log(2) + \log(3) + \log(2) + 0 + 0 \\
&=\log (2 \times 3 \times 2) \\
&= \log(12).
\end{align}

對這函數套用默比烏斯反演公式，可得以下恆等式：
: \Lambda(n) = \mu * \log = \sum_{d|n} \mu(d) \log(\frac{n}{d}) （參見狄利克雷卷積）

此外有
: \Lambda(n) \log(n) + \sum_{d|n} \Lambda(d) \Lambda(\frac{n}{d}) = \sum_{d|n} \mu(d) \log^2 \frac{n}{d}

其中\mu(d)是默比烏斯函數。

另外利用對數的乘法規則，可得
:\Lambda (n) = - \sum_{d \mid n} \mu(d) \log(d)

對於任意的x\ge 1而言，有
: \sum_{n\le x}\frac{\Lambda(n)}{n}=\log x+O(1).
此外，對於和馮·曼戈爾特函數密切相關的切比雪夫第二函數\psi(x)，有正常數和，使得對於任意的x\ge 1而言，有
: \psi(x)\le c_1x,
且對於任意大的而言，有
: \psi(x)\ge c_2x,

狄利克雷級數
馮·曼戈爾特函數對狄利克雷級數的理論，尤其是黎曼ζ函數的理論扮演了重要的角色。以下是一個相關的例子：

:\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}, \qquad \text{Re}(s) > 1.

其則為

:\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.

上述例子是此函數與狄利克雷級數一般關係的特例。實際上，假如對一個在這範圍收斂的完全積性函數而言，有以下關係：

:F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

那麼其對數微分在這範圍收斂：

:\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}

切比雪夫函數
切比雪夫第二函數\psi(x)是馮·曼戈爾特函數的和：

: \psi(x) = \sum_{p^k\le x}\log p=\sum_{n \leq x} \Lambda(n) \ .

切比雪夫函數最初由帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫引入，他以此函數證明說質數計數函數\pi(x)的大小量級為x/\log x；而馮·曼戈爾特函數則對\psi(x)提供了一個精確的、在黎曼ζ函數的非平凡零點上的和的公式，而這點是質數定理的第一個證明的重要部分。

藉由套用佩龍公式，可得切比雪夫函數的梅林變換：

:\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = - s\int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^{s+1}}\,dx

這變換對於任意的\operatorname{Re}(s)>1皆成立。

指數級數
哈代及李特爾伍德曾研究以下級數在的行為：

:F(y)=\sum_{n=2}^\infty \left(\Lambda(n)-1\right) e^{-ny}

在假定黎曼猜想成立的狀況下，他們證明了以下關係式：

:F(y)=O\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)\quad \text{且}\quad F(y)=\Omega_\pm\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)

特別地，這函數是個發散性的震盪函數：存在一個常數使得下列兩個不等式對0的無限多個鄰域皆成立：

:F(y)
:F(z)> \frac{K}{\sqrt{z}}

右圖顯示了這函數的此種行為開始時在數值上並不顯著：在對這級數加總到一億項之前，這震盪並不明顯，且只有在時此震盪才變得可見。

李斯平均
馮·曼戈爾特函數的如次：
:\begin{align}
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n) &= -\frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s ds \\
&= \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_\rho \frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)} + \sum_n c_n \lambda^{-n}.
\end{align}
其中和都是其李斯平均的特徵數。在此必須有。這和當中的是黎曼ζ函數的零點，也就是這和乃是在將黎曼ζ函數的各零點代入\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)}後所得的值的和。

此外可證明說對而言，以下級數收斂：
:\sum_n c_n \lambda^{-n}\,

使用黎曼ζ函數零點的估計
馮·曼戈爾特函數的總和函數，也就是第二切比雪夫函數\psi(x)的一個明確公式如下：
:\psi(x)=x-\sum_{\zeta(\rho)=0}\frac{x^\rho}\rho -\log(2\pi).

假若將實際上就是複偶數的平凡零點分離開來，可得
:\psi(x)=x-\sum_{\zeta(\rho)=0,\ 0
注意這總和並非絕對收斂的，因此求零點時依其虛部的絕對值大小順序進行求值。

在另一方面，艾德蒙·蘭道在1911年證明了對於任意固定的t > 1而言有以下等式：
:\sum_{0
其中\rho = \beta + i\gamma表示黎曼ζ函數的非平凡零點。

因此若用黎曼的表記則對黎曼ζ函數非平凡零點而言，有以下總和：
:\lim _{T \rightarrow+\infty} \frac{1}{T} \sum_{0
而這函數的峰值位於質數和質數冪之處。

馮·曼戈爾特函數的傅立葉變換給出的譜的尖端等於黎曼ζ函數非平凡零點的虛部。這有時又稱二元性。

廣義馮·曼戈爾特函數
以下函數是馮·曼戈爾特函數的推廣：
:\Lambda_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\log^k(n/d)
其中\mu是默比烏斯函數；而k則是一個正整數。

在這定義下，\Lambda_1就是原版的馮·曼戈爾特函數\Lambda。

參見

  • 質數計數函數

參考

  • Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976

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外部連結

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