貝爾級數

貝爾級數是數論上一種研究算術函數的工具。它是形式幂级数。

給定算術函數f和質數p，*f模p的貝爾級數*為 f_p(x) = \sum_{i=0}^\infty f(p^n) x^n

唯一定理：對於任意質數p，若兩個積性函數模p*的貝爾級數都相等，則這兩個函數是相等的。
對於兩個算術函數的狄利克雷卷積，有{(fg)_p}(x) = f_p(x) \times g_p(x)。
*一個完全積性函數的貝爾級數為幾何級數：f_p(x) = \frac{1}{1 - f(p) x}。

例子
以下是一些常见的算术函数的贝尔级数。

• 默比乌斯函数\mu的\mu_p(x)=1-x.
• 欧拉函数\phi的\phi_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.
• 刘维尔函数\lambda的\lambda_p(x)=\frac{1}{1+x}.
• 因子函数\sigma_k的(\sigma_k)_p(x)=\frac{1}{1-\sigma_k(p)x+p^kx^2}.

參考

• Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol