在算術函數集上，可以定義一種二元運算，使得取這種運算為乘法，取普通函數加法為加法，使得算術函數集為一個交換環。其中一種這樣的運算便是狄利克雷摺積。它和一般的卷积有不少相類之處。
對於算術函數f,g，定義其狄利克雷摺積(f * g)(n) = \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})。
取狄利克雷摺積為運算，積性函數集是算術函數集的子群。
運算
交換律f g = g * f
結合律(f g) h = f (g * h)
分配律f (g + h) = f g + f h = (g + h) * f
存在單位函數ε使得f = f \epsilon=\epsilon f。ε(n)的值為1若n=1，否則ε(n*)=0。
- 對於任意算術函數f，若f(1)不等於0，都有唯一的逆函數f^{-1}，使得f * f^{-1} = \epsilon。
f^{-1}的值如下：
: f^{-1}(1)= \frac{1}{f(1)}
: 對於n>1，f^{-1}(n)= \frac{-1}{f(1)} \sum_{d|n , n \ne d} f(\frac{n}{d}) f^{-1}(d)
默比乌斯函数μ的逆函數為（一般意義上的）1，即對於n \ne 1，\sum_{d|n} \mu(d) \times 1 = 0。這是默比乌斯反演公式的原理。
狄利克雷摺積得名於數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷。1857年约瑟夫·刘维尔曾發表了許多包含這個運算的恆等式。將它視為二元運算這個觀點由埃里克·坦普爾·貝爾和M.奇波拉1915年提出。
導數
若定義f的「導數」f'(n) = f(n) \log(n)，可以發現這個運算和連續實函數的導數有不少相似的地方：
- (f+g)' = f' + g'
- (fg)' = fg' + f'*g
- (f^{-1})' = \frac{-f'}{f*f}
級數
對於算術函數f，定義其狄利克雷級數
:DG(f;s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}
對於一些算術函數的狄利克雷級數，它們的積，跟那些算術函數的狄利克雷摺積的狄利克雷級數是相等的：
:DG(f;s) DG(g;s) = DG(f*g;s)\,
這跟卷积定理很相似。
定義f的貝爾級數
:f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.
也有類似的關係：
- {(f*g)_p}(x) = f_p(x) \times g_p(x)
參考
- Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
- http://eom.springer.de/D/d130150.htm
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