弗勒利歇尔-奈恩黑斯括号
在数学中，弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号（）是光滑流形上向量场的李括号到向量值微分形式的推广。它在研究联络，特别是埃雷斯曼联络，以及更一般的研究切丛的投影中很有用。此括号由阿尔弗雷德·弗勒利歇尔与于1956年引入，与斯豪滕1940年的工作有联系。 它与奈恩黑斯-理查德森括号和斯豪滕-奈恩黑斯括号相关但不是一回事。 定义 设 Ω(M) 是光滑流形 M 上微分形式的外代数。这是一个分次代数，其次数由形式的阶数给出： :\Omega^(M) = \…
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七维叉积
在数学中，七维叉积是七维空间的向量的双线性算子。对于任何两个向量a、b在{{tmath|\mathbb{R}^7}}，其叉积也在{{tmath|\mathbb{R}^7}}。七维叉积和三维叉积相似在于，它们满足反交換律且正交于a和b；不同在于，七维叉积不满足雅可比恒等式。虽然每对三维向量只有一个叉积（不辨正负），但每对七维向量可以有很多叉积。七维叉积与八元数的关系和三维叉积与四元数的一样。 七维叉积是将三维以外的叉积广义化的一个方式，而…
张量积
在数学中，张量积，记为 \otimes，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。 向量空间张量积的定义与构造 两个向量空间 和 间的张量积是指一个向量空间，通常记作 ，这个新向量空间可确定到至多相差一个同构。 有多种等价的方式来定义向量空间的张量积，其中大多数都是在显式地定义那个将被称作张量积 的向量空间，而对等价性的…
卷积
和自相关的图示比较。运算涉及函数f，并假定f的高度是1.0，在5个不同点上的值，用在每个点下面的阴影面积来指示。f的对称性是卷积gf和互相关f \star g在这个例子中相同的原因。]] 在泛函分析中，捲積（convolution），或译为疊積、-{褶}-積或旋積，是透過两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f与经过翻转和平移的g的乘積函數所圍成的曲邊梯形的面積。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作…
矩陣乘法
数学中，矩阵乘法（）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（）。设A是n\times m的矩阵，B是m\times p的矩阵，则它们的矩阵积AB是n\times p的矩阵。A中每一行的m个元素都与B中对应列的m个元素对应相乘，这些乘积的和就是AB中的一个元素。 矩阵可以用来表示线性映射，矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。因此，矩阵乘法是线性代数的基础工具，不仅在数学中有大量应用，在应用数学、物…
狄利克雷摺積
在算術函數集上，可以定義一種二元運算，使得取這種運算為乘法，取普通函數加法為加法，使得算術函數集為一個交換環。其中一種這樣的運算便是狄利克雷摺積。它和一般的卷积有不少相類之處。 對於算術函數f,g，定義其狄利克雷摺積(f g)(n) = \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})。 取狄利克雷摺積為運算，積性函數集是算術函數集的子群。 運算 交換律f g = g f 結合律(f g) h = f (g h) 分配律f …
斯豪滕-奈恩黑斯括号
在微分几何中，斯豪滕–奈恩黑斯括号（，国际音标：），也称为斯豪滕括号，是定义在光滑流形上的多重向量场上的一种分次李括号，推广了向量场的李括号。有两种不同的版本，让人相当不解地是有相同的名字。最通常的版本是定义在交错多重向量场上，使得其成为一个格尔斯滕哈伯代数；但另一个版本定义在对称多重向量场上，这或多或少与余切丛上的泊松括号相同。它由在1940年与1953年发现，其性质为他的学生在1955年研究。它与奈恩黑斯-理查德森括号及弗勒利歇尔-…
弗罗比尼乌斯内积
在数学中，弗罗比尼乌斯内积（）是一种基于两个矩阵的二元运算，结果是一个数值。它常常被记为\langle \mathbf{A},\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}。这个运算是一個將矩陣視為向量的逐元素内积。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数，但不局限于方阵。 定义 给定两个n×m维複矩阵 A和B： : \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &…
泊松括號
在數學及经典力學中，泊松括號是哈密顿力學中重要的運算，在哈密頓表述的動力系統中時間演化的定義起着中心角色。在更一般的情形，泊松括号用来定义一个泊松代数，而泊松流形是一个特例。它们都是以西莫恩·德尼·泊松命名的。 与叉积的关系；由无穷小梯度向量组成的平行四边形越大，括号越大。]] 正則坐標 在正則坐標(q_i,p_j)表示中，相空间内两个函数 f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mat…
外积 (张量积)
外积（），在线性代数中一般指两个向量的张量積，其結果為一矩陣；與外积相對，兩向量的內積結果為純量。 外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到：一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。 矩阵乘法定义 向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。 给定m\times 1 列向量\mathbf{u}和1 \times n 行向量\mathbf{v}，它们的外积\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}被定义为m\tim…
叉积
在数学和向量代数领域，外積（）又称叉积（）、叉乘、向量积（），是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号\times。与点积不同，它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量\mathbf{a}和\mathbf{b}，它们的外积写作\mathbf{a} \times \mathbf{b}，是\mathbf{a}和\mathbf{b}所在平面的法线向量，与\mathbf{a}和\mathbf{b}都垂直。外积被广泛运用于数学、物理、工程学…
拉格朗日括号
拉格朗日括号是一种与泊松括号关系密切的运算，1808年至1810年间由约瑟夫·拉格朗日最早用于经典力学之中。不过与泊松括号相比，拉格朗日括号在今日已不常使用。 定义 令(q1, …, qn, p1, …, pn)为相空间中的正则坐标，且每一个坐标都可表示为两个变量u与v的函数，则u和v的拉格朗日括号为： : [ u, v ]_{p,q} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial q_i}{\partial …
奈恩黑斯-理查德森括号
数学中，代数括号（）或奈恩黑斯–理查德森括号（）是一个向量空间到自身的交替多重线性形式上的一个分次李代数结构。这是由 A. Nijenhuis 与 R. W. Richardson, Jr 在(1966, 1967) 二文中引入的，它与 弗勒利歇尔-奈恩黑斯括号和斯豪滕-奈恩黑斯括号有关，但不一样。 定义 引入此括号最初动机是为讨论一个向量空间上所有可能的李代数结构以及随后的这些结构的形变发展一个统一的框架。如果 V 是一个向量空间，p…
双线性映射
在数学中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。 定义 设V, W和X是在同一个基础域F上的三个向量空间。双线性映射是函数 :B:V\times W\rightarrow X 使得对于任何W中w，映射 :v\mapsto B\left ( v,w \right ) 是从V到X的线性映射，并且对于任何V中的v，映射 :w\mapsto B(v,…