在数学中，七维叉积是七维空间的向量的双线性算子。对于任何两个向量a、b在{{tmath|\mathbb{R}^7}}，其叉积也在{{tmath|\mathbb{R}^7}}。七维叉积和三维叉积相似在于，它们满足反交換律且正交于a和b；不同在于，七维叉积不满足雅可比恒等式。虽然每对三维向量只有一个叉积（不辨正负），但每对七维向量可以有很多叉积。七维叉积与八元数的关系和三维叉积与四元数的一样。

七维叉积是将三维以外的叉积广义化的一个方式，而它和三维叉积是唯二结果为向量、正交于两个向量，且大小与三维情况相同的二元双线性向量积。所提供的乘法表显示正交规范基向量ei和ej（其中i和j从1到7）的叉积。例如，由该表可知，

:\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3 =-\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_1

乘法表可以用来计算任意两个向量的叉积。例如，如果要计算x × y的e1部分，我们可以选出叉积等于e1的基向量：

:\left( \mathbf{ x \times y}\right)_1 = x_2y_3 - x_3y_2 +x_4y_5-x_5y_4 + x_7y_6-x_6y_7。

重复这个步骤，便可以计算其余六个部分。

七维叉积有480个乘法表，每个都对应一个满足定义的叉积。以上乘法表可以用以下关系总结：

• 正交：

::\mathbf{x} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbf{y}=0

• 大小：

::|\mathbf{x} \times \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 |\mathbf{y}|^2 - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})^2

其中(x·y)为欧几里得点积，而|x|为歐氏範數。

第一个性质表明叉积垂直于其运算数，而第二个性质提供叉积的大小。设向量的夹角为θ，则表示式可以表达为大小条件的第三个表示式是

: 若\left( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \right)= 0，则|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|

（如果假设x × x = 0是另一个公理。）

定义性质的内涵
已知双线性、正交和大小的性质，非零叉积仅存在于三维和七维。

三维叉积是唯一的（不辨正负），但任何一对七维向量都有很多叉积。设一对向量x和y\isin \mathbb{R}^7和任一向量v，其中|v| = |x||y| sin θ且v在垂直于x和y的五维空间中。通过乘法表（和一个有关的基向量集），我们可以求出一个叉积使得x × y = v。不像三维叉积一样，x × y = a × b不代表a和b位于x和y所在的平面。

利用几何代数
叉积也可以用几何代数计算。叉积以外積（exterior product）开始，而外積是结果为二重向量的两个向量的积：

:\mathbf{B} = \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} = \frac{1}{2}(\mathbf{xy} - \mathbf{yx})。

外积是双线性的，满足交错性且具有所求的大小，但结果不是向量。向量和叉积由这个二重向量的积或得出。三维中只有一个三重向量（不辨缩放因子），也就是该空间的贗純量。上述二重向量与其中一个单位三重向量的积则是该二重向量的对偶。

七维也有类似的计算方式，但由于三重向量组成一个35维空间，我们可以使用很多三重向量，但不是所有三重向量都有用。其积等于上述坐标变换的三重向量是

:\mathbf{v} = \mathbf{e}_{124} + \mathbf{e}_{235} + \mathbf{e}_{346} + \mathbf{e}_{457} + \mathbf{e}_{561} + \mathbf{e}_{672} + \mathbf{e}_{713}。

与外积结合，得叉积为

: \mathbf{x} \times \mathbf{y} = -(\mathbf{x} \wedge \mathbf{y}) ~\lrcorner~ \mathbf{v}

其中 \lrcorner 是几何代数的左缩併（left contraction）算子。

与八元数的关系
就像三维叉积可以用四元数表示，七维叉积可以用八元数表达。建立\mathbb{R}^7与虚八元数（\mathbb{O}中实数线的正交补）的关系后，叉积由以下方程以八元数乘法表示：
:\mathbf x \times \mathbf y = \mathrm{Im}(\mathbf{xy}) = \frac{1}{2}(\mathbf{xy}-\mathbf{yx})。

相反，设V为一个叉积为某向量的七维欧几里得空间，则我们可以在\mathbb{R} \oplus V上定义一个双线性乘法如下：

:(a,\mathbf{x})(b,\mathbf{y}) = (ab - \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}, a\mathbf y + b\mathbf x + \mathbf{x}\times\mathbf{y})。

因此，具有该乘法的空间\mathbb{R} \oplus V与八元数同构。

叉积仅存在于三维和七维，因为我们必然可以在高一个维度的空间定义乘法，而该空间需要得证为賦範可除代數。根据胡尔维兹定理，此类代数仅存在于1、2、4和8维，所以叉积必定存在于0、1、3和7维。零维和一维的叉积必然等于零，所以叉积仅存在于三维和七维。

七维叉积之所以不能满足雅可比恆等式，是因为八元数不满足交换律。事实上，
:\mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z}) + \mathbf{y}\times(\mathbf{z}\times\mathbf{x}) + \mathbf{z}\times(\mathbf{x}\times\mathbf{y}) = -\frac{3}{2}[\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z]
其中[x, y, z]是。

旋转
在三维，叉积在旋转群SO(3)的作用下保持不变，所以x和y被旋转后，它们的叉积是被旋转后的像。然而，这个不变性不适用于七维：叉积在七维旋转群SO(7)的作用下并非不变，但它在SO(7)的子群李群下不变。我们要求叉积是多重线性且满足交错性的，而且结果是一个正交于所有输入向量ai的向量。由正交的规定得知，在n维中，叉积最多只能接受个向量。叉积的大小应该等于以这些向量为边的超平行體的体积，而它可以用格拉姆行列式计算。叉积的条件是：

• 正交：\left( \mathbf{a}_1 \times \ \cdots \ \times \mathbf{a}_k\right) \cdot \mathbf{a}_i = 0对于i = 1,\ \dots\ , k。
• 格拉姆行列式：|\mathbf{a}_1 \times \cdots \times \mathbf{a}_k |^2

\det (\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j)
\begin{vmatrix}
\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_k\\
\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_k\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_k\\
\end{vmatrix}

格拉姆行列式是以a1, ..., ak为边的超平行体的体积的平方。

考虑到这些条件，非零叉积

• 在三维和七维中是二元积；
• 在n ≥ 3维中是n − 1个向量的积，而它是这些向量的外积的霍奇对偶；
• 在八维中是三个向量的积。

在八维中，三个向量的叉积可以用以下方程求出：
\mathbf{a} \times \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) ~\lrcorner~ (\mathbf{w} - \mathbf{ve}_8)
其中v是七维所用的三重向量，\lrcorner是左縮併算子，而是一个4-向量。

除此之外，如上文所述，零叉积存在于一维和零维。偶数维度也有其他“叉积”。它是一元函数，用适当的二重向量通过左縮併，输出一个垂直于输入向量但大小与其相同的向量。在二维中，这个运算相当于将向量经90度旋转。

我们也可以解除多线性和大小的限制，考虑一个一般连续函数V^d \to V（其中V是赋有欧几里得内积的\mathbb{R}^n且 d \geq 2 ），它是满足以下两个性质的唯一条件：

叉积必定垂直于所有输入函数。

如果输入函数线性无关，则其叉积必定非零。

应用这些限制后，叉积只存在于n = 3, d = 2；n = 7, d = 3；n = 8, d = 3；和 d = n - 1 的情况中。

参见
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参考文献
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• Also available as ArXiv reprint .

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