弗罗比尼乌斯内积

在数学中，弗罗比尼乌斯内积（）是一种基于两个矩阵的二元运算，结果是一个数值。它常常被记为\langle \mathbf{A},\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}。这个运算是一個將矩陣視為向量的逐元素内积。参与运算的两个矩阵必须有相同的维度、行数和列数，但不局限于方阵。

定义
给定两个n×m维複矩阵 A和B：

: \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}} \,, \quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}

弗罗比尼乌斯内积定义为如下的矩阵元素求和

: \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} =\sum_{i,j}\overline{A_{ij}} B_{ij} = \mathrm{tr}\left(\overline{\mathbf{A}^T} \mathbf{B}\right)

其中上划线表示复数和複矩阵的共轭操作。若將定義詳細寫出，則有
:\begin{align} \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = & \overline{A}_{11} B_{11} + \overline{A}_{12} B_{12} + \cdots + \overline{A}_{1m} B_{1m} \\
& + \overline{A}_{21} B_{21} + \overline{A}_{22} B_{22} + \cdots + \overline{A}_{2m} B_{2m} \\
& \vdots \\
& + \overline{A}_{n1} B_{n1} + \overline{A}_{n2} B_{n2} + \cdots + \overline{A}_{nm} B_{nm} \\
\end{align}

此計算與點積十分相似，所以是一個內積的範例。

性质
弗罗比尼乌斯内积是半双线性形式。给定複矩阵A, B, C, D, 以及复数a和b，我们有

:\langle a\mathbf{A}, b\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = \overline{a}b\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}
:\langle \mathbf{A}+\mathbf{C}, \mathbf{B} + \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} = \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{A}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F}

并且，交换複矩阵的次序所得到的是原来结果的共轭矩阵：

:\langle \mathbf{B}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = \overline{\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}}

对于相同的矩阵，有

:\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} \geq 0 \,.

样例
实矩阵
给定实矩阵：

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix}

则：

:\begin{align}\langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = 2\cdot 8 + 0\cdot (-3) + 6\cdot 2 + 1\cdot 4 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-5) \\
& = 16 + 12 + 4 - 1 - 10 \\
& = 21 \end{align}

複矩阵
给定複矩阵

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1+i & -2i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -2 & 3i \\ 4-3i & 6 \end{pmatrix}

那么它们的共轭 (非转置) 矩阵为

:\overline{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix} 1-i & +2i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \,,\quad \overline{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix} -2 & -3i \\ 4+3i & 6 \end{pmatrix}

因此，

:\begin{align} \langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = (1-i)\cdot (-2) + (+2i)\cdot 3i + 3\cdot (4-3i) + (-5)\cdot 6 \\
& = (-2+2i) + -6 + 12-9i + -30 \\
& = -26 -7i \end{align}

但注意

:\begin{align} \langle \mathbf{B} ,\mathbf{A}\rangle_\mathrm{F} & = (-2)\cdot (1+i) + (-3i)\cdot (-2i) + (4+3i)\cdot 3 + 6 \cdot (-5) \\
& = -26 + 7i \end{align}

A、B与其本身的弗罗比尼乌斯内积分别为

:\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40
:\langle \mathbf{B}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74

弗罗比尼乌斯范数
从弗罗比尼乌斯内积我们可以诱导出弗罗比尼乌斯范数

:\|\mathbf{A}\|_\mathrm{F} = \sqrt{\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F}} \,.

參考資料
相關條目
*阿達瑪乘積 (矩陣)
*希尔伯特-施密特算子
*克罗内克积
*矩陣分析
*矩陣乘法
*矩陣範數