数学中，矩阵乘法（）是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算，第三个矩阵即前两者的乘积，称为矩阵积（）。设A是n\times m的矩阵，B是m\times p的矩阵，则它们的矩阵积AB是n\times p的矩阵。A中每一行的m个元素都与B中对应列的m个元素对应相乘，这些乘积的和就是AB中的一个元素。
矩阵可以用来表示线性映射，矩阵积则可以用来表示线性映射的复合。因此，矩阵乘法是线性代数的基础工具，不仅在数学中有大量应用，在应用数学、物理学、工程学等领域也有广泛使用。
一般矩陣乘積
矩陣相乘最重要的方法是一般矩陣乘積。它只有在第一個矩陣的和第二個矩陣的相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。若A為m\times n矩陣，B為n\times p矩陣，則他們的乘積AB*(有時記做A\cdot B）會是一個m\times p矩陣。其乘積矩陣的元素如下面式子得出：
: (AB)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}
以上是用矩陣單元的代數系統來說明這類乘法的抽象性質。本節以下各種運算法都是這個公式的不同角度理解，運算結果相等：
由定義直接計算
左邊的圖表示出要如何計算AB的(1,2)和(3,3)元素，當A是個4\times 2矩陣和B是個2\times 3矩陣時。分別來自兩個矩陣的元素都依箭頭方向而兩兩配對，把每一對中的兩個元素相乘，再把這些乘積加總起來，最後得到的值即為箭頭相交位置的值。
:(AB)_{1,2} = \sum_{r=1}^2 a_{1,r}b_{r,2} = a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2}
:(AB)_{3,3} = \sum_{r=1}^2 a_{3,r}b_{r,3} = a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}
向量方法
這種矩陣乘積亦可由稍微不同的觀點來思考：把向量和各係數相乘後相加起來。設\mathbf{A}和\mathbf{B}是兩個給定如下的矩陣：
: \mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A_1 & A_2 & \dots
\end{bmatrix},
\mathbf{B} =
\begin{bmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \\
b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
B_1\\
B_2\\
\vdots
\end{bmatrix}
其中
:A_1是由所有a_{x,1}元素所组成的向量(column)，A_2是由所有a_{x,2}元素所组成的向量，以此类推。
:B_1是由所有b_{1,x}元素所组成的向量(row)，B_2是由所有b_{2,x}元素所组成的向量，以此类推。
則
:
\mathbf{AB}
=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \end{bmatrix} + a_{1,2} \begin{bmatrix} b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \end{bmatrix} + \cdots \\\\
a_{2,1} \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \end{bmatrix} + a_{2,2} \begin{bmatrix} b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \end{bmatrix} + \cdots \\
\vdots
\end{bmatrix}
= A_1 B_1 + A_2 B_2 +\dots
舉個例子來說：
:
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \\
-1 \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} -3 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}
\end{bmatrix}
:
=
\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2
\end{bmatrix}
左面矩陣的列為為係數表，右邊矩陣為向量表。例如，第一行是[1 0 2]，因此將1乘上第一個向量，0乘上第二個向量，2則乘上第三個向量。
向量表方法
一般矩陣乘積也可以想為是行向量和列向量的內積。若\mathbf{A}和\mathbf{B}為給定如下的矩陣：
: \mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
A_3 \\
\vdots
\end{bmatrix}
且 \mathbf{B} =
\begin{bmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & \dots \\
b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & \dots \\
b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3} & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 & \dots
\end{bmatrix}
其中，这里
:A_1是由所有a_{1,x}元素所組成的向量，A_2是由所有a_{2,x}元素所組成的向量，以此類推。
:B_1是由所有b_{x,1}元素所組成的向量，B_2是由所有b_{x,2}元素所組成的向量，以此類推。
则
:
\mathbf{AB} =
\begin{bmatrix}
A_1 \\
A_2 \\
A_3 \\
\vdots
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 & \dots
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(A_1 \cdot B_1) & (A_1 \cdot B_2) & (A_1 \cdot B_3) & \dots \\
(A_2 \cdot B_1) & (A_2 \cdot B_2) & (A_2 \cdot B_3) & \dots \\
(A_3 \cdot B_1) & (A_3 \cdot B_2) & (A_3 \cdot B_3) & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}
即
:
\left(\mathbf{AB} \right)_{ij}=A_iB_j
性質
矩陣乘法是不可交換的（即AB\neq BA），除了一些較特別的情況。很清楚可以知道，不可能預期說在改變向量的部份後還能得到相同的結果，而且第一個矩陣的列數必須要和第二個矩陣的行數相同，也可以看出為什麼矩陣相乘的順序會影響其結果。
雖然矩陣乘法是不可交換的，但AB和BA的行列式總會是一樣的（當A、B是同樣大小的方陣時）。
當A、B可以被解釋為線性算子，其矩陣乘積AB會對應為兩個線性算子的複合函數，其中B先作用。
在試算表中做矩陣乘法
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2
\end{bmatrix}
以 Google Sheet 為例，選取儲存格範圍或者使用陣列，在儲存格輸入
=MMULT({1,0,2;-1,3,1},{3,1;2,1;1,0})
在某些試算表軟體中必須必須按 將儲存格內的變數轉換為陣列
純量乘積
矩陣A=(a_{ij})和純量r的純量乘積rA的矩陣大小和A一樣，rA的各元素定義如下：
: (rA)_{ij} = r \cdot a_{ij} \
若我們考慮於一個環的矩陣時，上述的乘積有時會稱做左乘積，而右乘積的則定義為
: (Ar)_{ij} = a_{ij} \cdot r \
當環是可交換時，例如實數體或複數體，這兩個乘積是相同的。但無論如何，若環是不可交換的話，如四元數，他們可能會是不同的。例如，
:
i\begin{bmatrix}
i & 0 \\
0 & j \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & k \\
\end{bmatrix}
\ne \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -k \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
i & 0 \\
0 & j \\
\end{bmatrix}i
阿達馬乘積
給定兩個相同維度的矩陣可計算有阿達馬乘積（），或稱做逐項乘積、分素乘積（element-wise product, entrywise product）。兩個m\times n矩陣A、B的阿達馬乘積標記為A \circ B，定義為
(A \circ B)_{ij} = a_{ij}b_{ij}的m\times n矩陣。例如，
:
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 2
\end{bmatrix}
\circ
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2 \\
7 & 5 & 0 \\
2 & 1 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 2 \cdot 2 \\
1 \cdot 7 & 0 \cdot 5 & 0 \cdot 0 \\
1 \cdot 2 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 4 \\
7 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 2
\end{bmatrix}
需注意的是，阿達馬乘積是克羅內克乘積的子矩陣。
克羅內克乘積
給定任兩個矩陣A和B，可以得到兩個矩陣的直積，或稱為克羅內克乘積A\otimes B，其定義如下
:
\begin{bmatrix}
a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B
\end{bmatrix}
當A是一m\times n矩陣和B是一p\times r矩陣時，A\otimes B會是一mp\times nr矩陣，而且此一乘積也是不可交換的。
舉個例子，
:
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\otimes
\begin{bmatrix}
0 & 3 \\
2 & 1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1\cdot 0 & 1\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\
1\cdot 2 & 1\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\
3\cdot 0 & 3\cdot 3 & 1\cdot 0 & 1\cdot 3 \\
3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 1\cdot 2 & 1\cdot 1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 3 & 0 & 6 \\
2 & 1 & 4 & 2 \\
0 & 9 & 0 & 3 \\
6 & 3 & 2 & 1
\end{bmatrix}
若A和B分別表示兩個線性算子V_1\to W_1和V_2\to W_2，A\otimes B便為其映射的張量乘積，V_1\otimes V_2\to W_1\otimes W_2
共同性質
上述三種乘積都符合結合律：
: A(BC) = (AB)C
以及分配律：
: A(B + C) = AB + AC
: (A + B)C = AC + BC
而且和純量乘積相容：
: c(AB) = (cA)B
: (Ac)B = A(cB)
: (AB)c = A(Bc)
注意上述三個分開的表示式只有在純量體的乘法及加法是可交換（即純量體為一可交換環）時會相同。
另見
- Strassen演算法（1969）
- Winograd演算法（1980）
- Coppersmith–Winograd演算法（1990）
- 邏輯矩陣
- 矩陣鏈乘積
- 逆矩陣
- 關係複合
- BLAS
- 矩陣加法
- 矩阵微积分
外部連結
- [http://wims.unice.fr/~wims/en_tool~linear~matmult.html WIMS Online Matrix Multiplier]
- [http://www.purplemath.com/modules/mtrxmult.htm Animated Matrix Multiplication Examples (purplemath)]
- [http://alexle.net/wp-content/uploads/2006/04/matrix.html Matrix Multipication in Javascript] （works in Firefox）
參考
其它参考文献包括：
- Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
- Coppersmith, D., Winograd S., Matrix multiplication via arithmetic progressions, J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
- Horn, Roger; Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
- Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005.
Matrix (Mathematik)#Matrizenmultiplikation
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