外积 (张量积)

外积（），在线性代数中一般指两个向量的张量積，其結果為一矩陣；與外积相對，兩向量的內積結果為純量。

外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到：一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。

矩阵乘法定义
向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。

给定m\times 1 列向量\mathbf{u}和1 \times n 行向量\mathbf{v}，它们的外积\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}被定义为m\times n矩阵\mathbf{A}，结果出自
:\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}
这里的张量积就是向量的乘法。

使用坐标：
:\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}

对于复数向量，习惯使用\mathbf{v}的复共轭(指示为\bar{\mathbf{v}})，因为人们把行向量认为是对偶空间的复共轭向量空间的元素：
:\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \bar{\mathbf{v}}

如果\mathbf{v}是列向量，定义变为：
:\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} = \mathbf{u} \mathbf{v}^*
这里的\mathbf{v}^*是\mathbf{v}的共轭转置。

相对于外积
如果\mathbf{v}是列向量，而且m = n，则可以采用其他方式的积，生成一个标量(或1 \times 1矩阵):
:\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \left\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\right\rangle = \mathbf{v} \mathbf{u}
它是欧几里得空间的标准内积，常叫做点积。

抽象定义
给定向量v \in V和余向量w^ \in W^，张量积v \otimes w^给出映射A\colon W \to V，在同构\mathrm{Hom}(W,V) = W^ \otimes V之下。

具体的说，给定w \in W，
:A(w) := w^*(w)v
这里的w^(w)是w^在w上的求值，它生成一个标量，接着乘v。

可作为替代，它是w^*\colon W \to K与v\colon K \to V的复合。

如果W=V，则还可以配对w^*(v)，这是内积。

参见

• 内积
• 叉积
• 张量积