拉格朗日括号是一种与泊松括号关系密切的运算，1808年至1810年间由约瑟夫·拉格朗日最早用于经典力学之中。不过与泊松括号相比，拉格朗日括号在今日已不常使用。
定义
令(q1, …, qn, p1, …, pn)为相空间中的正则坐标，且每一个坐标都可表示为两个变量u与v的函数，则u和v的拉格朗日括号为：
:
[ u, v ]_{p,q} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial q_i}{\partial u} \frac{\partial p_i}{\partial v} - \frac{\partial p_i}{\partial u} \frac{\partial q_i}{\partial v} \right).
性质
- 拉格朗日括号与特定的正则坐标无关(q, p)。如取另一组正则坐标(Q,P) = (Q1, …, Qn, P1, …, Pn)，满足正则变换
:: Q=Q(q,p), P=P(q,p)
此时拉格朗日括号不变，即
:: [ u, v]_{q,p} = [u , v]_{Q,P}
因而通常情况下会省略下标。
- 如果2n维相空间W上有辛形式Ω，u1,…,u2n是W上的一个坐标系，那么正则坐标(q,p)可表示为u的函数，而拉格朗日括号所组成的矩阵
:: [ u_i, u_j ]_{p,q}, \quad 1\leq i,j\leq 2n
表示在]Ω在坐标系u下的分量，可看作一个张量。这个矩阵是由泊松括号所组成的矩阵
:: \{u_i, u_j\}, \quad 1\leq i,j\leq 2n
的逆矩阵。
- 由上述性质可以得到，相空间上的坐标(Q1, …, Qn, P1, …, Pn)是正则的，当且仅当它们之间的拉格朗日括号有如下形式：
:: [Q_i, Q_j]_{p,q}=0, \quad [P_i,P_j]_{p,q}=0,\quad [Q_i, P_j]_{p,q}=-[P_j, Q_i]_{p,q}=\delta_{ij}.
参见
- 拉格朗日力学
- 哈密顿力学
参考文献
- Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
- Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277.
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