卡西米爾不變量
在數學裏，卡西米爾不變量（又稱卡西米爾元或卡希米爾算子）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 J 2, 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。 卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對刚体动力学的描述當中。 定義 最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。 二次卡西米爾元 設…
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马格努斯展开
在数学和物理学中，马格努斯展开（）为线性算子的一阶齐次线性微分方程的解提供了指数表示，得名於數學家威廉·馬格努斯。特别地，这种方法提供了变系数n阶线性常微分方程组的基矩阵。指数是无穷级数，其项涉及多重积分和嵌套换元。 确定情形 马格努斯方法及其解释 给定系数矩阵，我们希望求解与线性常微分方程相关的初值问题 : Y'(t) = A(t) Y(t), \quad Y(t_0) = Y_0 其中是未知n维向量函数。 n = 1时，解为 : Y…
李超代数
李超代数是李代数的推广，包含了Z2分次代数。李超代数在理论物理中十分重要，用于描述超对称的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应玻色子，奇元素大多对应费米子（也有相反者，如BRST超对称）。 定义 形式上看，李超代数是交换环（一般是R或C）上的非结合Z2-分次代数，或“超代数”，其积为[·, ·]，称作李超括号或超交换子，满足两个条件（与分次的通常李代数类似）： 超反对称性（skew-symmetry）： :[x,y]=-(-1)^[y…
卡茨-穆迪代数
卡茨-穆迪代数是一個李代數，通常無限維，其定義自（Victor Kac所謂的）廣義根系。卡茨-穆迪代数的應用遍及數學和理論物理學。 定義 假定以下材料： C = (c_{ij}) ——一個r階廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix) C = (c_{ij}) r. \mathfrak{h} ———— 一個 2n − r維複向量空間 \mathfrak{h}. \mathfrak{h}^ ———— \mathfr…
奈恩黑斯-理查德森括号
数学中，代数括号（）或奈恩黑斯–理查德森括号（）是一个向量空间到自身的交替多重线性形式上的一个分次李代数结构。这是由 A. Nijenhuis 与 R. W. Richardson, Jr 在(1966, 1967) 二文中引入的，它与 弗勒利歇尔-奈恩黑斯括号和斯豪滕-奈恩黑斯括号有关，但不一样。 定义 引入此括号最初动机是为讨论一个向量空间上所有可能的李代数结构以及随后的这些结构的形变发展一个统一的框架。如果 V 是一个向量空间，p…
雅可比恒等式
雅可比恒等式就是下列等式： : [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0. 定義 集合S 有一個二元運算子及可交換二元運算子+滿足雅可比恒等式，如果 : a(bc) + c(ab) + b(c*a) = 0\quad \forall{a,b,c}\in S. 李代数是满足雅可比恒等式的代数结构的一个主要例子。 注意，满足雅可比恒等式的代数结构不一定满足反交換律。
基灵型
在数学中，基灵型（），是在李群与李代数理论中起着基本作用的一个对称双线性形式。它以数学家威廉·基灵命名，但事实上基灵型是埃利·嘉当发现的，而嘉当矩阵则属于威廉·基灵。 定义 考虑域 K 上一个李代数 g，g 中任何元素定义了 g 的一个伴随同态 ad(x)（也记作 adx），用李括号表示为： :ad(x)(y) = [x, y] 现在假设 g 是有限维，两个这样的同态的复合的迹定义了一个对称双线性形式 :B(x, y) = trace(…
李代数胚
在数学中，李代数胚（）在李群胚理论中的角色恰如李代数在李群理论中的角色：将整体问题减化为无穷小情形。就像李群胚可以视为“具有许多对象的李群”，李代数胚可视为“具有许多对象的李代数”。 确切地说，一个李代数胚是三元组 (E, [\cdot,\cdot], \rho)，其中 E 为流形 M 上一个向量丛，[\cdot,\cdot] 是截面 \Gamma (E) 组成的模上的一个李括号，向量丛同态 \rho: E\rightarrow TM …
李余代数
数学中，李余代数（）是与李代数对偶的结构。 在有限维情形，它们是对偶的对象：李代数的对偶向量空间上自然有一个李余代数结构，反之亦然。 定义 设 E 是域 k 上一个向量空间，上有一个线性映射 d\colon E \to E \wedge E 从 E 到 E 与自身的外积。可将 d 惟一扩张成 E 的外代数上一个度数为 1 的分次导子： :d\colon \bigwedge^\bullet E\rightarrow \bigwedge^{…
伴随丛
在数学中，伴随丛（）是一个自然相配于任何主丛的向量丛。伴随丛的纤维带有李代数结构使得伴随丛成为一个代数丛。伴随丛在联络理论以及规范理论中都有重要的应用。 形式定义 设 G 是一个李群，李代数为 \mathfrak g，并设 P 是光滑流形 M 上一个主 G 丛。令 :\mathrm{Ad}: G\to\mathrm{Aut}(\mathfrak g)\sub\mathrm{GL}(\mathfrak g) 是 G 的伴随表示。P 的伴随…