李余代数

数学中，李余代数（）是与李代数对偶的结构。

在有限维情形，它们是对偶的对象：李代数的对偶向量空间上自然有一个李余代数结构，反之亦然。
定义
设 E 是域 k 上一个向量空间，上有一个线性映射 d\colon E \to E \wedge E 从 E 到 E 与自身的外积。可将 d 惟一扩张成 E 的外代数上一个度数为 1 的分次导子：
:d\colon \bigwedge^\bullet E\rightarrow \bigwedge^{\bullet+1} E.
那么二元组 (E,d) 称为李余代数如果 d2 = 0，即外代数的分次分量与导子一起 (\bigwedge^* E, d) 构成一个上链复形：
:E\ \rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ E\wedge E\ \rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ \bigwedge^3 E\rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ \dots.

与德拉姆复形的关系
就像流形上向量场的外代数（张量代数也是）构成一个（基域 K 上的）李代数，流形上微分形式的德拉姆复形形成一个李余代数。进一步，在向量场与微分形式之间有一个配对。

但形式要微妙些：李代数不是光滑函数 C^\infty(M) 上线性的（误差是李导数），外导数也不是：d(fg) = (df)g + f(dg) \neq f(dg)（它是一个导子，但不是函数线性的），它们不是张量。它们不是在函数上线性的，但它们有一种一致的表现，不能简单地由李代数与余代数刻画。

进一步，在德拉姆复形中，导子不仅对 \Omega^1 \to \Omega^2 有定义，而且对 C^\infty(M) \to \Omega^1(M) 有定义。

对偶的李代数
向量空间上李代数结构是一个映射 [\cdot,\cdot]\colon \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}，反对称，且满足雅可比恒等式。等价地，一个映射 [\cdot,\cdot]\colon
\mathfrak{g} \wedge \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} 满足雅可比恒等式。

对偶地，向量空间上李余代数结构是一个映射 d\colon E \to E \wedge E，满足上闭链条件。李括号的对偶诱导一个映射（余交换子）
:[\cdot,\cdot]^\colon \mathfrak{g}^ \to (\mathfrak{g} \wedge \mathfrak{g})^ \cong \mathfrak{g}^ \wedge \mathfrak{g}^*
这里同构 \cong 对有限维成立；对偶是李乘积的对偶。在这种情形下，雅可比恒等式对应于上闭链条件。

更明确地，令 E 是一个李余代数。对偶空间 E* 上带有
:α([x, y]) = dα(x∧y)，对所有 α ∈ E 与 x,y ∈ E*
定义的括号结构。

我们证明 E 上所赋予的是一个李括号。只需验证雅可比恒等式。对任意 x, y, z ∈ E* 与 α ∈ E*，
:d^2\alpha (x\wedge y\wedge z) = \frac{1}{3} d^2\alpha(x\wedge y\wedge z + y\wedge z\wedge x + z\wedge x\wedge y) = \frac{1}{3} \left(d\alpha([x, y]\wedge z) + d\alpha([y, z]\wedge x) +d\alpha([z, x]\wedge y)\right),
这里最后一步是楔积的对偶与对偶的楔积的标准等同。最后，给出
:d^2\alpha (x\wedge y\wedge z) = \frac{1}{3} \left(\alpha([[x, y], z]) + \alpha([[y, z], x])+\alpha([[z, x], y])\right).
因 d2 = 0，从而
:\alpha([[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y]) = 0 对任意 α, x, y, 与 z。
这样，由双对偶同构雅可比恒等式成立。

特别地，注意到证明指出了上闭链条件 d2 = 0 是雅可比恒等式在某种意义下的对偶。

注释