卡西米爾不變量

在數學裏，卡西米爾不變量（又稱卡西米爾元或卡希米爾算子）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 J 2, 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。

卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對刚体动力学的描述當中。

定義
最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。

二次卡西米爾元
設 \mathfrak{g} 為一個 n 維半單李代數。設 B 為 \mathfrak{g} 上非奇異的二次型，並要求 B 在 \mathfrak{g} 的伴隨作用下不變，即對 \mathfrak{g} 中的任意 X,Y,Z, 都有 B(ad_XY,Z)+B(Y,ad_XZ)=0. （例如，可取 B 為基灵型。）
設
:\{X_i\}_{i=1}^n
為 \mathfrak{g} 的基，以及
:\{X^i\}_{i=1}^n
為 \mathfrak{g} 關於 B 的對偶基，則 B 的卡西米爾不變量 \Omega 是泛包絡代數 U(\mathfrak{g}) 的元素
:\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i.

儘管上述定義取決於選取的基，可以證明所得的 Ω 與所選的基無關。另一方面，不同的二次型 B 可以給出不同的 Ω. B 的不變性，說明卡西米爾元與李代數 \mathfrak{g} 的任何元素都可交換，因此是泛包絡代數 U(\mathfrak{g}) 的中心的元素。

線性表示和光滑作用的卡西米爾元
給定 \mathfrak{g} 在向量空間 V 上的 ρ （允許無窮維），將 ρ(Ω) 稱為 ρ 的卡西米爾不變量，其為 V 上的線性算子，且由下式給出：

:\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i).

此處假定了 B 為基靈型，否則必須指明 B.

該構造的特定形式，在微分幾何和中有重要作用。假設連通李群 G 的李代數 \mathfrak{g} 作用在微分流形 M 上，則在 M 的連續函數空間上，有 G 相應的表示 ρ. \mathfrak{g} 的元素均由 M 上的一階微分算子表示，於是，上式給出 ρ 的卡西米爾元，其為 M 上的二階微分算子，且在 G 的作用下不變。

更進一步，若 M 有度量张量，使得 G 的元素作為 M 的保距變換，可遞地作用在 M 上，且一點的穩定子 Gx 不可約地作用在切空間 TxM 上，則 ρ 的卡西米爾元是該度量的拉普拉斯算子的倍數。

也可定義更一般的卡西米爾不變量，其於研究伪微分算子時用到。

一般情況
每個卡西米爾算子，都對應伴隨表示的 \mbox{ad}_\mathfrak{g}. 的對稱齊次多項式。換言之，任何一個卡西米爾算子都具有下列形式：

:C_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} X_i \otimes X_j \otimes \cdots\otimes X_k,

其中 是對稱張量 \kappa^{ij\cdots k} 的階，且 X_i 組成 \mathfrak{g} 的基。域 上的多项式环 K[t_i, t_j, \cdots ,t_k] 內，有 元對稱齊次多項式

:c_{(m)} = \kappa^{ij\cdots k} t_i t_j \cdots t_k
與該卡西米爾算子對應。給出了泛包絡代數的顯式構造，由此可以證明上述的對應關係。

然而，並非每個對應張量（或對稱齊次多項式）都與一個卡西米爾算子對應。其必須與李括號顯見地可交換，即對每個基向量 X_i, 都滿足

:[C_{(m)}, X_i] = 0.

考慮结构常数 fijk，其滿足
:[X_i,X_j]=f_{ij}^{\;\; k}X_k.
於是對於滿足上述條件的對稱多項式，可得
:f_{ij}^{\;\; k} \kappa^{jl\cdots m}

• f_{ij}^{\;\; l} \kappa^{kj\cdots m} + \cdots
• f_{ij}^{\;\; m} \kappa^{kl\cdots j} = 0.

此為伊斯拉埃爾·蓋爾范德所得的結果。由該交換關係，可知卡西米爾元與李代數中的任意元素都可交換，從而卡西米爾元是在泛包絡代數的中心裏內。得益於此，能以其卡西米爾元的特徵值來分類。

注意上述對稱多項式的線性和仍然是在中心裏。更甚者，諸卡西米爾元組成中心的一組基。若一個半單李代數的秩為 即其嘉当子代数的維數為 則其恰有 個卡西米爾元。

性質
唯一性
一個單李代數中，每個不變二次型皆為基灵型的倍數，所以對應的卡西米爾元唯一（允許相差一個常數的意義下）。對於一般的半單李代數，考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和，因此該二次型空間中，對應每個單分量，恰有一個基向量。故卡西米爾元組成的空間中，也對應每個單分量，恰有一個基向量。

與 G 上拉普拉斯算子的關係
若 G 為李群，且其李代數為 \mathfrak{g}, 則 \mathfrak{g} 上的不變二次型對應 G 上的雙不變黎曼度量。並且， \mathfrak{g} 的泛包絡代數等同於 G 上的左不變微分算子空間。在此等同關係下，\mathfrak{g} 上雙線性型的卡西米爾元，對應 G 關於雙不變度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。

推廣
卡西米爾算子是李代數的泛包絡代數的中心的特殊二次元素。換言之，卡西米爾算子是一個微分算子，其與李代數的生成元皆可交換。泛包絡代數中心裏，每個二次元素均是某個二次型的卡西米爾元。然而，中心內可以有其他（非二次）的元素。

由拉卡定理，半單李代數的泛包絡代數中心的維數，等於該李代數的秩。在任意的半單李群（即其李代數為半單李代數）上，可以利用卡西米爾元，定義群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述關於秩的結論，當秩大於 1 時，無法類比地定義唯一的拉普拉斯算子。

根據定義，泛包絡代數的中心內，任何元素都與整個代數的元素可交換。由舒尔引理，任何中，卡西米爾算子必為恆等映射的倍數。該比例常數適用於李代數表示的分類（也就適用於李群表示的分類）。物理上，質量和自旋均屬該種常數，並且量子力学中許多量子数亦然。

例：\mathfrak{so}(3)
考慮三維欧几里得空间的旋轉群 SO(3). 其李代數 \mathfrak{so}(3) 的秩為 1, 因此僅得一個獨立的卡西米爾元。旋轉群的基靈型為克羅內克δ, 故相應的卡西米爾不變量正是李代數的生成元 L_x,\, L_y,\, L_z 的平方和。換言之，卡西米爾元由等式

:L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2

給出。
考慮 \mathfrak{so}(3) 的一個不可約表示。記其中 L_z 的最大特徵值為 \ell, 則 \ell 的可能取值為 0,1/2,1,3/2,\ldots. 卡西米爾元的不變性可推出其為恆等算子 I 的倍數。該常數可以具體計算出，即：

:L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=\ell(\ell+1)I.

在量子力学中，常數 \ell 稱為總角動量量子數。對於旋轉群的有限維矩陣取值表示，\ell 總為整數或半整數（奇數的一半）。倘為整數，則該表示稱為玻色子表示（)，否則稱為费米子表示（)。

給定 \ell, 得到的矩陣表示是 (2\ell+1) 維的。例如 \mathfrak{so}(3) 的三維表示對應於 \ell\,=\,1, 由下列的生成元給出：

:
L_x=
i\begin{pmatrix}
0& 0& 0\\
0& 0& -1\\
0& 1& 0
\end{pmatrix};\quad
L_y=
i\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 0& 0\\
-1& 0& 0
\end{pmatrix};\quad
L_z=
i\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
1& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix},

其中照物理學常用的約定加入了 i 因子，使得諸生成元皆為自伴算子。

由此，可以手算二次卡西米爾元，結果為

:L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2= 2
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}.
當 \ell\,=\,1時，\ell(\ell+1)\,=\,2, 故此例子與前段的一般結果一致。類似地，二維的表示以泡利矩陣作基，對應物理上自旋為 1/2 的粒子。

特徵值
由於卡西米爾元 \Omega 在泛包絡代數的中心內，其在一個單模（該代數的直和分解的一個分量）上的作用是乘上一個常數。設 \langle,\rangle 為 \Omega 定義採用的對稱非退化二次型。記 L(\lambda) 為具有最高權 \lambda 的元素組成的有限維模（稱為該表示的最高權模）。則卡西米爾元 \Omega 在 L(\lambda) 的作用為乘常數
:\langle \lambda, \lambda + 2 \rho \rangle=\langle\lambda+\rho,\lambda+\rho\rangle - \langle\rho,\rho\rangle ,
其中 \rho 為所有正根之和之半。

若 L(\lambda) 非平凡（即 \lambda\neq 0), 則上述常數非零。原因是，由於 \lambda 是優控的（, 即與任意正根的內積皆非負），若 \lambda\neq 0，則 \langle\lambda,\lambda\rangle>0, 且 \langle\lambda,\rho\rangle\geq 0, 故 \langle\lambda,\lambda+2\rho\rangle >0. 此結果適用於的證明。亦可不使用上述公式，而採用更抽象的證明該常數非零。

參見
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參考文獻
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延伸閱讀
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