克莱布希-高登系数
在量子力学中，克莱布希－高登系数（Clebsch–Gordan coefficients，简称 CG 系数，又称向量耦合系数等）是两个角动量耦合时，它们的本征函数的组合系数。 从数学的角度，克莱布希－高登系数出现在紧李群的表示论中，它研究的是两个不可约表示的张量积如何分解成不可约表示的直和。 克莱布希－高登系数因阿尔弗雷德·克莱布什和保罗·哥尔丹而得名。 记号 在本文中，在不引起混淆的情况下，省略算符上的尖号。用粗体来表示向量（算符），…
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共 10 篇文章
卡西米爾不變量
在數學裏，卡西米爾不變量（又稱卡西米爾元或卡希米爾算子）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 J 2, 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。 卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對刚体动力学的描述當中。 定義 最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。 二次卡西米爾元 設…
朗蘭茲綱領
朗蘭茲綱領（Langlands program）是數學中一系列影響深遠的構想，聯繫數論、代數幾何與约化群表示理論；綱領最初由羅伯特·朗蘭茲於1967年在一封給安德烈·韦伊的信件中提出。 朗蘭茲綱領被廣泛視為現代數學研究中最大的單項項目，被描述為“數學的一種大統一理論”。 起源：數論 我们可以二次互反律之推廣阿廷互反律為朗蘭茲綱領之起點： 給定一個Q上的、伽羅瓦群為可交換群的數域，阿廷互反律向這個伽羅瓦群的任何一支一維表示配上一枚L函數，…
外尔特征标公式
外尔特徵標公式（Weyl's character formula) 描述緊李羣不可約表示的特徵標。其名來自證明者赫尔曼·外尔。 定義：羣G的表示r的特徵標為一函數 \chi: G\rightarrow C，\chi (g) := Tr(r(g))，其中Tr 為線性算子之迹。 （由彼得-外尔定理 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的；故迹之定義為線性代數中之定義。） 特徵標 χ 記住了表示 r 本身的重要訊息。 外尔特徵標公式用羣G的其…
D函数
维格纳D函数（）是紧李群SU(2)和SO(3)的不可约酉表示的矩阵元。D函数最初由尤金·保羅·維格納于1927年引入，其中“D”是德语单词“Darstellung”（意为“表示”）的首字母。此外，D函数的复共轭也是量子三维刚性转子的能量本征函数。 定义 小D函数 正交关系 参见 *維格納-埃卡特定理 参考文献
角动量算符对易关系
在量子力学中，角动量算符之间的对易关系是基本的对易关系之一。从这些对易关系出发就足以得出关于角动量算符及其本征函数的许多性质，而不需要关心角动量算符在某个表象下的具体表达式。从数学上看，这一套理论实际上是研究与李代数 \mathfrak{su}(2) 相关的性质。 导引 在三维空间中的角动量算符（经典角动量的量子化）满足下列的基本对易关系式： :[L_\alpha,L_\beta]=i\hbar\sum_\gamma\epsilon_{…
伴随表示
在數學中，一個李群 G 的伴隨表示（）或伴隨作用（）是 G 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛作用的線性化形式。 正式定义 設 G 是一個李群，\mathfrak g 是它的李代數（我們將其等價於 G 中恒同元素的切空間 TeG）。利用方程 \Psi(g)= \Psi_g 對 g 屬於 G，定義一個映射 :\Psi : G \to \mathrm{Aut}(G),\, 這里 \mathrm{Aut}(G) 是…
李群表示
在数学和理论物理领域，李群表示（Representation of a Lie group）意指李群在向量空间上的线性作用。等价地说，群的表示是一个从该群到向量空间的可逆算子群的光滑同态。表示论在连续对称性的研究中扮演了重要的角色。关于这类表示的研究颇丰，其中一个基本的研究工具是使用对应的无穷小。
维格纳 3-j 符号
维格纳 3-j 符号也称3-j符号，与量子力学中的克莱布希－高登系数有密切关系。 : \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle. 反演关系 : \langle j…
極大環面
在數學的緊李群及約化代數群理論中，極大子環是其中一類特別的子群，在這些群的分類及表示理論中扮演要角。 緊李群 李群G中的子環（面）是一個連通緊阿貝爾李子群，這類子群必然同構於環面T^n。極大環面是其中維度最大者。非緊子群未必有極大環面（例如\mathbb{R}^n）。 對於緊李群，極大子環對應到李代數中的極大阿貝爾子代數。任意子環皆包含於某個極大子環，任兩個極大子環彼此共軛。極大子環的維度稱為該群的秩。 約化群 設G為S上的群概形，若存…