外尔特徵標公式（Weyl's character formula) 描述緊李羣不可約表示的特徵標。其名來自證明者赫尔曼·外尔。
定義：羣G的表示r的特徵標為一函數 \chi: G\rightarrow C，\chi (g) := Tr(r(g))，其中Tr 為線性算子之迹。 （由彼得-外尔定理 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的；故迹之定義為線性代數中之定義。）
特徵標 χ 記住了表示 r 本身的重要訊息。 外尔特徵標公式用羣G的其他資料來表達 χ 。 本文考慮複表示，不失一般亦設其為酉表示，因而「不可約」亦等價於「不可分解」（即非二子表示之直和）。
公式
緊李羣G 之不可約表示之特徵標符合下式：
:{\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda+\rho}) \over e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}
其中
ρ 為羣G* 之外尔向量，即各正根之和之半；
*W 為 外尔羣；
*λ 為不可約表示之 最高權；
α 遍歴G*之每一正根。
外尔分母公式
在 1 維表示的特例中，特徵標為 1, 而外尔特徵標公式簡化成 外尔分母公式：
:{\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}.
若G為特殊么正羣，則簡化成范德蒙行列式的等式：
:
\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, \alpha_1^{\sigma(1)-1} \cdots \alpha_n^{\sigma(n)-1} =\prod_{1\le i。
外尔維度公式
若只考慮單位元1之迹，則外尔特徵標公式 特殊化成 外尔維數公式
::\dim(V_\Lambda)= {\prod_{\alpha>0}(\Lambda+\rho,\alpha) \over \prod_{\alpha>0}(\rho,\alpha)},
::\dim(V_\Lambda) = {\prod_{\alpha>0}(\Lambda+\rho,\alpha) \over \prod_{\alpha>0}(\rho,\alpha)}
其中
- VΛ為有限維表示，其最高權為Λ；
*ρ為外尔向量，
*α 遍歴所有正根。
由於式中分子與分母俱為高階零，故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限。
Freudenthal 公式
Hans Freudenthal發現了符合之一遞歸公式。此公式等價於外尔特徵標公式，而在某些情況下更簡便。式曰：
:: ((\Lambda+\rho)^2 - (\lambda+\rho)^2)\dim V_\lambda = 2 \sum_{\alpha>0}\sum_{j\ge 1} (\lambda+j\alpha, \alpha)\dim V_{\lambda+j\alpha}；
其中
*Λ 為一最高權，
*λ 為另一權，
- dim Vλ 為權λ 之重數，
*ρ 為外尔向量，
*外和中之 α 歴遍所有正根。
外尔-Kac 特徵標公式
外尔特徵標公式 亦適用於卡茨-穆迪代数之可積最高權表示 ——外尔-Kac 特特徵標公式。同樣地，分母恆等式亦可推廣至卡茨-穆迪代数，其在仿射李代數之特例成為Macdonald 恆等式。其在 A1 仿射李代數之例成為經典的 雅可比三重乘積恆等式：
:\prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - x^{2m}\right)
\left( 1 - x^{2m-1} y\right)
\left( 1 - x^{2m-1} y^{-1}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n^2} y^{n}.
此特徵公式可推廣至广义卡茨-穆迪代数之可積最高權表示：
:{\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda+\rho}S) \over e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}
其中 S 為一修正項：
:S=\sum_{I}(-1)^e^{\Sigma I}
其中 I歴遍虚簡單根集內 所有與最高權\lambda 正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基數，而 ΣI為集 I 內元素之和。
而Monster 李代數之 分母公式 則為j之積公式：
::j(p)-j(q) = \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c_{nm}}。
Peterson 發現了（廣義）卡茨-穆迪代数之根重數 mult(β) 遞歸公式。此公式等價於外尔-卡茨分母公式，但更便於計算：
::(\beta,\beta-2\rho)c_\beta = \sum_{\gamma+\delta=\beta} (\gamma,\delta)c_\gamma c_\delta,
其中γ 與 δ 遍歴所有正根，而
:: c_\beta = \sum_{n\ge 1} {{\rm mult}(\beta/n)\over n}。
參攷
*Infinite dimensional Lie algebras, V. G. Kac, ISBN 0-521-37215-1
*
註
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