伴随表示

在數學中，一個李群 G 的伴隨表示（）或伴隨作用（）是 G 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛作用的線性化形式。

正式定义
設 G 是一個李群，\mathfrak g 是它的李代數（我們將其等價於 G 中恒同元素的切空間 TeG）。利用方程 \Psi(g)= \Psi_g 對 g 屬於 G，定義一個映射

:\Psi : G \to \mathrm{Aut}(G),\,

這里 \mathrm{Aut}(G) 是 G 的自同構群而自同構 \Psi_g 定義為

:\Psi_g(h) = ghg^{-1}\, 對所有 h 屬於 G。

從而 Ψg 在恒同處的微分是李代數 \mathfrak g 的一個自同構。我們記這個映射為 Adg：

:\mathrm{Ad}_g\colon \mathfrak g \to \mathfrak g.\,

所謂 Adg 是一個李代數自同構是說 Adg 是 \mathfrak g 的一個保持李括號的線性變換。映射
:\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g)
將 g 映為 Adg 稱為 G 的伴隨表示（）。這确实是 G 的一個表示因為 \mathrm{Aut}(\mathfrak g) 是 \mathrm{GL}(\mathfrak g) 的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 G 的維數相同。

李代数的伴随表示
我們可以由李群 G 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數

:\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g),\,

給出李代數 \mathfrak g 的伴隨表示：

:\mathrm{ad}\colon \mathfrak g \to \mathrm{Der}(\mathfrak g).\,

這里 \mathrm{Der}(\mathfrak g) 是 \mathrm{Aut}(\mathfrak g) 的李代數，可以與 \mathfrak g 上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯繫。特別地，我們可以證明

:\mathrm{ad}_x(y) = [x,y]\,

對所有 x,y \in \mathfrak g 成立。詳情請見李代数的伴随表示。

例子
如果 G 是一個 n 維阿貝爾群，G 的伴隨表示是n* 維平凡表示。
如果 G 是一個矩陣李群（即 GL(n,C) 的一個閉子群），則它的李代數是一個以交換子作李括號的 n×n 矩陣代數（即 \mathfrak{gl}_n(\mathbb C) 的子代數）。此時，伴隨映射由 Adg(x) = gxg*−1 給出。
如果 G 是 SL2(R)（行列式為 1 的 2×2 實矩陣），G 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G* 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。

性质
下表總結了定義中提到的不同映射的性質

G 在伴隨映射下的像記為 AdG。如果 G 連通，則伴隨表示的核與 Ψ 的核相同，就是 G 的中心。從而，如果 G 中心平凡，則連通李群 G 的伴隨表示是忠實的。進一步，如果 G 不連通，伴隨映射的核是 G 的單位分支 G0 的中心化子。由第一同構定理我們有

:\mathrm{Ad}_G \cong G/C_G(G_0).\,

半单李群的根
如果 G 半單，伴随表示的非零权组成一个根系。为了说明这是怎么回事，考虑特例 G=SLn(R)。

我们可取对角矩阵 diag(t1,...,tn) 的群是 G 的极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为
:\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{bmatrix}
\mapsto
\begin{bmatrix}
a_{11}&t_1t_2^{-1}a_{12}&\cdots&t_1t_n^{-1}a_{1n}\\
t_2t_1^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots&t_2t_n^{-1}a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
t_nt_1^{-1}a_{n1}&t_nt_2^{-1}a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{bmatrix}.

从而 T 在 G 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有本征向量 titj-1。G 的根是权
diag(t1,...,tn)→titj-1。这是 G=SLn(R) 的根系作为ei−ej 形式的向量集合的标准描述之说明。

变体与类比
伴随表示也能对任何域上的代数群定义。

餘伴随表示（）是伴随表示的逆步表示。亚历山大·卡里洛夫（）观察到任何向量在餘伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学（另见卡里洛夫特征标公式（）），一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。

参考
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