定向 (幾何)
在三維空間裏，直軸（直線）、直軸段、有向軸、有向軸段（向量）的定向是由它們與參考系的參考軸之夾角設定的。也可以用別的方法，例如方向餘弦方法。 在三維空間裏，一個平面的定向是垂直於此平面的一個向量的定向。 在三維空間裏，剛體的定向涉及整個剛體的定位。假若一個剛體內中一點已被固定，剛體仍舊能夠繞著固定點旋轉。單獨固定點的位置並不能完全地描述剛體的位置。一個剛體的位置有兩個部分：平移位置與角位置。平移位置可以用設定於剛體的一個參考點來表示。這…
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共 18 篇文章
克莱布希-高登系数
在量子力学中，克莱布希－高登系数（Clebsch–Gordan coefficients，简称 CG 系数，又称向量耦合系数等）是两个角动量耦合时，它们的本征函数的组合系数。 从数学的角度，克莱布希－高登系数出现在紧李群的表示论中，它研究的是两个不可约表示的张量积如何分解成不可约表示的直和。 克莱布希－高登系数因阿尔弗雷德·克莱布什和保罗·哥尔丹而得名。 记号 在本文中，在不引起混淆的情况下，省略算符上的尖号。用粗体来表示向量（算符），…
四元数与空间旋转
单位四元数（Unit quaternion）可以用于表示三维空间裡的旋转。它与常用的另外两种表示方式（三维正交矩阵和欧拉角）是等价的，但是避免了欧拉角表示法中的万向锁问题。比起三维正交矩阵表示，四元数表示能够更方便地给出旋转的转轴与旋转角。 基本方法 用四元数来表示旋转要解决两个问题，一是如何用四元数表示三维空间裡的点，二是如何用四元数表示三维空间的旋转。 四元数表示空间中的点 若三维空间裡的一个点的笛卡尔坐标为 (,,)，则它用纯四元…
自旋-1/2
在量子物理中，自旋\frac{1}{2}表示一粒子所具有的內稟角動量（自旋）為\frac{\hbar}{2}，\hbar是約化普朗克常數，其中包括了電子、質子、中子、中微子與虧子(夸克)。自旋-\frac{1}{2}粒子在量子統計上屬於費米子，並遵守包立不相容原理。 對自旋\frac{1}{2}粒子進行自旋性質的量子測量會得到兩個值。有兩個結果肇因於所存有的向量空間的維度。自旋\frac{1}{2}粒子的自旋量子態可以用一種兩個維度的複…
旋轉平面
旋轉面、旋轉平面（），是一個用於描述空間旋轉的抽像概念。 十維以下的旋轉平面數量如下表所示： : 旋轉平面主要用作描述四維空間及以上的旋轉，將高維旋轉分解為簡單的幾何代數描述。 數學上，旋轉平面可用多種方式描述。可用平面和旋轉角度來描述，可用克利福德代數的二重向量來描述。旋轉平面又與旋轉矩陣的特徵值和特徵向量有關。 In it is an alternative to the , but unlike the axis of rotat…
總角動量量子數
量子力學中，總角動量量子數（）為一次原子粒子之總角動量的本徵量子數。 總角動量算子 \hat j 為轨道角動量算子 \hat l 與自旋角動量算子 \hat s 的和： :\hat j = \hat {\ell} + \hat s 其对应的标量即為一系列總角動量量子數j。 :\{j\}=\{|\ell - s|, |\ell - s|+1, ... ,\ell + s-1, \ell + s\} 其中ℓ為角量子數（軌域角動量的本徵值），…
欧拉方程 (刚体运动)
在物理学上，欧拉方程是研究刚体转动的重要工具。为了简化计算，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，因为此时可以将角动量的变化分成分别描述\mathbf{L}的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。 这些方程是: : \left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{L}=\frac{d\mathbf{L}}{…
環架鎖定
環架鎖定（），也稱為萬向節鎖定，是使用动态欧拉角表示三維物体透過平衡環架旋转時會出現的問題。 簡介 欧拉角有两种： 静态：即绕世界坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴保持静止，所以称为静态。 动态：即绕物体坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动，所以称为动态。 使用动态欧拉角会出现万向锁现象；静态欧拉角不存在万向锁的问题。 在动态欧拉角的一次旋转中，需要按照固定的顺序分别绕x、y、z三个轴旋转一次，假设…
歐拉旋轉定理
在運動學裏，歐拉旋轉定理（）表明，在三維空間裏，假設一個剛體在做一個位移的時候，剛體內部至少有一點固定不動，則此位移等價於一個繞著包含那固定點的固定軸的旋轉。這定理是以瑞士數學家萊昂哈德·歐拉命名。於1775年，歐拉使用簡單的幾何論述證明了這定理。 用數學術語，在三維空間內，任何共原點的兩個座標系之間的關係，是一個繞著包含原點的固定軸的旋轉。這也意味著，兩個旋轉矩陣的乘積還是旋轉矩陣。一個不是單位矩陣的旋轉矩陣必有一個實值的本徵值，而這…
旋轉群
在經典力學與幾何學裏，所有環繞著三維歐幾里得空間\mathbb{R}^3的原點的旋轉及旋轉的複合組成的群稱為三維旋轉群，有時會用SO(3) 來表示。 關於原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。兩個旋轉的複合是一個新的旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉。\mathbb{R}^3上的恆等函數滿足旋轉的定義，可以作為群的單位元。旋轉的複合運算滿足結合律。由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。…
吉文斯旋转
在数值线性代数中，吉文斯旋转（）是在两个坐标轴所展开的平面中的旋转。吉文斯旋转得名于华莱士·吉文斯，他在1950年代工作于阿贡国家实验室时把它介入到数值分析中。 矩阵表示 吉文斯旋转表示为如下形式的矩阵 :G(i, j, \theta) = \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots & &…
欧拉角
萊昂哈德·歐拉用歐拉角來描述剛體在三維歐幾里得空間的取向。對於任何參考系，一個剛體的取向，是依照順序，從這參考系，做三個歐拉角的旋轉而設定的。所以，剛體的取向可以用三個基本旋轉矩陣來決定。換句話說，任何關於剛體旋轉的旋轉矩陣是由三個基本旋轉矩陣複合而成的。 靜態的定義 對於在三維空間裏的一個參考系，任何坐標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現。參考系（固定系）又稱為實驗室參考系，是靜止不動的。而坐標系（固连系）則固定於剛體，隨著剛體的旋轉…
轴角
旋转的轴角表示用两个值参数化了旋转: 一个轴或直线，和描述绕这个轴的旋转量的一个角。它也叫做旋转的指数坐标。 有时也叫做旋转向量表示，因为这两个参数(轴和角)可用在这个轴上的其模是旋转角的一个向量来表示。 用途 轴角表示在处理刚体动力学的时候是方便的。它对特征化旋转还有在刚体运动的不同表示之间的转换是有用的。 例子 假如你站在地面上，选取重力的方向为负 z 方向。如果你左转，你将绕 z 轴旋转 \tfrac{\pi}{2} 弧度 (或 …
旋量
外側的向量，順著莫比烏斯帶上的環圈（代表「物理系統」）旋轉了360°，向量轉而指向內側，亦即發生正負號變號。]] 在數學幾何學與物理中，旋量（spinor）是複向量空間中的元素。旋量乃自旋群的表象，類似於歐幾里得空間中的向量以及更廣義的張量，當歐幾里得空間進行無限小旋轉時，旋量做相應的線性轉換。當如此一系列這樣的小旋轉組合成一定量的旋轉時，這些旋量轉換的次序會造成不同的組合旋轉結果，與向量或張量的情形不同。當空間從0°開始，旋轉了完整的…
球面線性插值
球面線性插值（，通常簡稱），是四元數的一種線性插值運算，主要用於在兩個表示旋轉的四元數之間平滑差值。 外部链接 Ken Shoemake. [https://web.archive.org/web/20121004002406/http://run.usc.edu/cs520-s12/assign2/p245-shoemake.pdf Animating rotation with quaternion curves]. Erik B.…
罗德里格旋转公式
在三維旋轉理論體系中，羅德里格旋轉公式是在給定轉軸和旋轉角度後，旋轉一個向量的有效算法。这个公式以命名。羅德里格于1840年发表此公式。 如果v是在\mathbb{R}^3中的向量，k是与轉軸同向的單位向量，\theta是v绕k的右手方向旋轉经过的角度，那羅德里格旋轉公式表達為： : \mathbf{v}_\mathrm{rot} = \mathbf{v} \cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{…
SO(3)上的卡
在数学中，三维空间内的特殊正交群，也被称为旋转群的SO(3)，是一个典型的流形。在不同的SO(3)上的卡中，建立的坐标系互不相同:从这个角度讲，不能说哪种参数很适合描述旋转。由于存在三个自由度，因此SO(3)的维数是3。在不同的应用中需要使用不同的坐标系，因此如何从一个坐标系转换到另一个坐标系是一个潜在的问题。 旋转空间 在几何中，旋转群是所有关于三维欧几里得空间R3原点的，具有复合函数的旋转矩阵组成的群。 根据定义，关于原点的旋转是保…
三維空間的旋轉表述
在幾何學中，三維空間中的旋轉具有多種表述，其將旋轉作為一種數學轉換處理。在物理學中，此概念被應用到古典力學，其中轉動運動學或角運動學為對旋轉運動的量化科學。一物體在某瞬間的定向透過同種工具描述。 根據歐拉旋轉定理，剛體（或有固定原點的三維座標系）的任意旋轉可透過對一些軸做幾次簡單旋轉來表述。這樣的旋轉最小有三個實參數來唯一描述。然而，因為各種不同的因素，實際上有數種表示法；其中不少表示法用了超過三個參數來描述，儘管自由度仍只有三個。 旋…