欧拉方程 (刚体运动)

在物理学上，欧拉方程是研究刚体转动的重要工具。为了简化计算，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，因为此时可以将角动量的变化分成分别描述\mathbf{L}的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。

这些方程是:

:
\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{L}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{N}

其中\mathbf{L}是角动量在体坐标系中的表达，
\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}是物体角动量相对于体坐标系的变化， \mathbf{\omega}是在体坐标系中的角速度，而\mathbf{N}是外力矩。

证明
:
\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{L}
=\left(I\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}\right)+\mathbf(\omega)\times I\mathbf{\omega}
=I\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}+\frac{dI}{dt}\mathbf{\omega}
=\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{N}

分量形式
采用主轴坐标，I对角化，则\mathbf{L}分量形式为I_1\omega_1\mathbf{e}_1 + I_2\omega_2\mathbf{e}_2 + I_3\omega_3\mathbf{e}_3。从而，欧拉方程变为如下分量形式
:
\begin{matrix}
N_1 &=& I_1\dot{\omega}_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3\\
N_2 &=& I_2\dot{\omega}_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1\\
N_3 &=& I_3\dot{\omega}_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2\\
\end{matrix}

应用
方程左边为0时，还是有非平凡解：无力矩进动。

该方程也可以使用在坐标轴不在物体上的场合，
\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}不再连接到物体本身。\mathbf{\omega}是围绕固定坐标轴的转动而不是物体本身的转动。但是，所选的轴必须还是主轴，因为它是对角化的必要条件。这个形式的欧拉方程对于有旋转对称性的物体很有用，因为有些主轴的选取是自由的。

參閱
*Poinsot构造
*歐拉運動定律