在量子力学中，克莱布希－高登系数（Clebsch–Gordan coefficients，简称 CG 系数，又称向量耦合系数等）是两个角动量耦合时，它们的本征函数的组合系数。
从数学的角度，克莱布希－高登系数出现在紧李群的表示论中，它研究的是两个不可约表示的张量积如何分解成不可约表示的直和。
克莱布希－高登系数因阿尔弗雷德·克莱布什和保罗·哥尔丹而得名。
记号
在本文中，在不引起混淆的情况下，省略算符上的尖号。用粗体来表示向量（算符），用非粗体表示标量（算符）。
角动量耦合的一般理论
本文的讨论从角动量的一般量子理论出发，以角动量算符的对易关系为基础，不涉及角动量算符在某个具体表象下的表示。相关内容可参见角动量算符对易关系一文。
给定了 之后，本征函数组
:|jm\rangle,\quad m=-j,-j+1,\dots,j-1,j
张开成一个 2+1 维的函数空间。
现在给定两个量子数 1 和 2，则其本征函数组张开的空间分别有 21+1 维
与 22+1 维。现考虑这两个函数空间的张量积
:V=V_1\otimes V_2=\operatorname{span}(\
|}
|}
|}
从上面的例子可以看到，对于一般的情况，用矩阵来求克莱布希－高登系数将是十分繁琐的。一般可以采用下面的 Racah 表达式计算，更多的情况是直接查表。
Racah 表达式
Racah 用代数方法得出了克莱布希－高登系数的有限级数表达式。
:\begin{array}{cl}&\langle j_1m_1j_2m_2|j_3m_3\rangle\\
=&\delta_{m_3,m_1+m_2}\left[(2j_3+1)\frac{(j_1+j_2-j_3)!(j_2+j_3-j_1)!(j_3+j_1-j_2)!}{(j_1+j_2+j_3+1)!}
\times\prod_{i=1,2,3}(j_i+m_i)!(j_i-m_i)!\right]^{1/2}\\
\times&\sum_\nu[(-1)^\nu\nu!(j_1+j_2-j_3-\nu)!(j_1-m_1-\nu)!(j_2+m_2-\nu)!(j_3-j_1-m_2+\nu)!(j_3-j_2+m_1+\nu)!]^{-1}\end{array}
其中， 的求和限制在使得所有的阶乘因子中的数非负的范围内。
对称性
克莱布希－高登系数有下列的对称性：
:
\begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\
m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.
后者可以用于计算下列形式的球谐函数积分：
:
\begin{align}
& {} \quad \int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \\
& =
\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}}
\begin{pmatrix}
l_1 & l_2 & l_3 \\[8pt]
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l_1 & l_2 & l_3\\
m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\end{align}
由球谐函数的正交归一性，上面的结果也可以用来对球谐函数作展开。
参考
参见
*角动量算符及其一般理论
外部链接
*[http://pdg.lbl.gov/2011/reviews/rpp2011-rev-clebsch-gordan-coefs.pdf 克莱布希－高登系数表]
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