在量子物理中，自旋\frac{1}{2}表示一粒子所具有的內稟角動量（自旋）為\frac{\hbar}{2}，\hbar是約化普朗克常數，其中包括了電子、質子、中子、中微子與虧子(夸克)。自旋-\frac{1}{2}粒子在量子統計上屬於費米子，並遵守包立不相容原理。
對自旋\frac{1}{2}粒子進行自旋性質的量子測量會得到兩個值。有兩個結果肇因於所存有的向量空間的維度。自旋\frac{1}{2}粒子的自旋量子態可以用一種兩個維度的複數值向量來描述，稱之為二元旋量。利用這種表示法，量子力學中的算符可寫成2乘2(2 x 2)的複數厄米矩陣。
自旋投影算符S_z意義上代表了沿著z方向對自旋做的測量：
:S_z = \frac{\hbar}{2} \sigma _z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}
S_z算符有兩個本徵值—— \pm \frac{\hbar}{2} ，有各自對應的本徵向量：
:\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \left \vert {s_z = +\frac 1 2} \right \rangle = | {\uparrow} \rangle
:\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \left \vert {s_z = -\frac 1 2} \right \rang = | {\downarrow} \rangle
其構成描述自旋之希爾伯特空間的完整基底，即自旋的態可用這兩個態的線性組合來代表。這兩個態方便上稱之為「自旋向上」（）與「自旋向下」（）。
自旋算符S有些特質和角動量算符L相同，但其他特質則不相同。
可為自旋\frac{1}{2}物體建構升降算符；其遵守和其他角動量算符相同的對易關係(交換關係)。
自旋投影算符的旋轉的兩個本徵值與前面相同(相應於測量的可能結果)，但本徵向量則不同——為向量自旋算符\mathbf{S} \cdot \hat{n}；其中n是一個順沿投影方向的單位向量，而
:\mathbf{S} = \frac{\hbar}{2} \mathbf{\sigma} = \frac{\hbar}{2} \left( \sigma _x \hat{x} + \sigma _y \hat{y} + \sigma _z \hat{z} \right)。
這些\sigma為包立矩陣或稱包立旋量。
參閱
*自旋-軌道作用
参考文献
外部連結
*[https://web.archive.org/web/20100624155748/http://physicsstream.ucsd.edu/courses/spring2003/physics130a/movies/2003-06-04_full.mov 聖地牙哥加州大學物理系關於自旋的視聽教學]
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