吉文斯旋转

在数值线性代数中，吉文斯旋转（）是在两个坐标轴所展开的平面中的旋转。吉文斯旋转得名于华莱士·吉文斯，他在1950年代工作于阿贡国家实验室时把它介入到数值分析中。

矩阵表示
吉文斯旋转表示为如下形式的矩阵

:G(i, j, \theta) =
\begin{bmatrix} 1 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\
0 & \cdots & c & \cdots & -s & \cdots & 0 \\
\vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\
0 & \cdots & s & \cdots & c & \cdots & 0 \\
\vdots & & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}

这里的 c = cos(θ) 和 s = sin(θ) 出现在第 i 行和第 j 行与第 i 列和第 j 列的交叉点上。就是说，吉文斯旋转矩阵的所有非零元定义如下：:
:\begin{align}
g_{k\, k} &{}= 1 \qquad \text{for} \ k \ne i,\,j\\
g_{i\, i} &{}= c \\
g_{j\, j} &{}= c \\
g_{i\, j} &{}= s \qquad \text{for} \ i > j \\
g_{j\, i} &{}= -s \quad \text{for} \ i

乘积 表示向量 x 在 (i,j)平面中的逆时针旋转 θ 弧度。

Givens 旋转在数值线性代数中主要的用途是在向量或矩阵中介入零。例如，这种效果可用于计算矩阵的 QR分解。超过Householder变换的一个好处是它们可以轻易的并行化，另一个好处是对于非常稀疏的矩阵计算量更小。

稳定计算
当一个吉文斯旋转矩阵 G(i,j,θ)从左侧乘另一个矩阵 A 的时候，GA 只作用于 A 的第 i 和 j 行。所以我们集中于下列问题。给出 a 和 b，找到 c = cos θ 和 s = sin θ 使得
: \begin{bmatrix} c & -s \\ s & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \\ 0 \end{bmatrix} .
明确计算出 θ 是没有必要的。我们转而直接获取 c, s 和 r。一个明显的解是
:\begin{align}
r &{}\larr \sqrt{a^2 + b^2} \\
c &{}\larr a / r \\
s &{}\larr -b / r
\end{align}
但是为了避免上溢出和下溢出，我们使用不同的计算，采用比率 b/a (它是 tan θ)或它的倒数(Golub & Van Loan 1996)。如 Edward Anderson (2000) 在改进 LAPACK 时发现的，前瞻数值考虑是连续性的。要完成它，我们要求 r 是正数。

if (b = 0) then {c ← copysign(1,a); s ← 0; r ← abs(a)}
else if (a = 0) then {c ← 0; s ← -copysign(1,b); r ← abs(b)}
else if (abs(b) > abs(a)) then
t ← a/b
u ← copysign(sqrt(1+t*t),b)
s ← -1/u
c ← -s*t
r ← b*u
else
t ← b/a
u ← copysign(sqrt(1+t*t),a)
c ← 1/u
s ← -c*t
r ← a*u

这是依据 IEEE 754r copysign(x,y) 函数写成的，它提供了安全和廉价的方式复制 y 的符号到 x。如果不能获得它，使用符号函数的 x*sgn(y) 可作为替代。

注意这里的sgn定义为
:\sgn x = \begin{cases}
1 & :\ x \ge 0 \\
-1 & :\ x
而不是常用的
:\sgn x = \begin{cases}
1 & :\ x > 0 \\
0 & :\ x = 0 \\
-1 & :\ x
后者常在高级语言中作为标准库函数被提供，注意不要直接应用于本算法中。

参见

• 雅可比旋转

引用
*

• Anderson, Edward. (2000) [http://www.netlib.org/lapack/lawns/downloads/ Discontinuous Plane Rotations and the Symmetric Eigenvalue Problem] . LAPACK Working Note 150, University of Tennessee, UT-CS-00-454, December 4, 2000.
• D. Bindel, J. Demmel, W. Kahan, O. Marques. (2001) [http://www.netlib.org/lapack/lawns/downloads/ On Computing Givens rotations reliably and efficiently] . LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, January 31, 2001.