朗蘭茲綱領
朗蘭茲綱領（Langlands program）是數學中一系列影響深遠的構想，聯繫數論、代數幾何與约化群表示理論；綱領最初由羅伯特·朗蘭茲於1967年在一封給安德烈·韦伊的信件中提出。 朗蘭茲綱領被廣泛視為現代數學研究中最大的單項項目，被描述為“數學的一種大統一理論”。 起源：數論 我们可以二次互反律之推廣阿廷互反律為朗蘭茲綱領之起點： 給定一個Q上的、伽羅瓦群為可交換群的數域，阿廷互反律向這個伽羅瓦群的任何一支一維表示配上一枚L函數，…
标签：#自守形式
共 7 篇文章
塞爾伯格跡公式
在數學中，塞爾伯格跡公式是非交換調和分析的重要定理之一。此公式表達了齊性空間 G/\Gamma 的函數空間上某類算子的跡數，其中 G 是李群而 \Gamma 是其離散子群。 塞爾伯格在1956年處理了緊黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。藉由拉普拉斯算子及其冪次，塞爾伯格定義了。此時的公式相似於解析數論關注的「明確公式」：黎曼曲面上的測地線在公式中扮演素數在明確公式裡的角色。 一般而言，塞爾伯格跡公式聯繫了負常數曲率緊曲面上的拉普拉斯算子的…
自守形式
數學上所謂的自守形式（），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。 龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。 古典定義 設 \Gamma 為作用於複區域 D 的離散群。取定自守因子 j_{\gamma}(x), \;(\gamma…
志村簇
在數學中的代數幾何與數論領域，志村簇是一類特殊的代數簇，可視之為模曲線在高維度的類推。粗略地說，志村簇乃是埃爾米特對稱空間對某個代數群之同餘子群的商；最簡單的例子是上半平面對 \mathrm{SL}_2(\Z) 的商。一維的志村簇有時也被稱為志村曲線。 志村五郎在1960年代研究了上述商空間的緊化，其目的在推廣複乘法理論及互逆律；在此需要的基本結果是 Baily-Borel 定理（1966）。此後，人們也發現志村簇是某類霍奇結構的模空間…
希爾伯特第二十二問題
希爾伯特第二十二問題是希爾伯特的23個問題之一，關於以自守函數一致化可解析關係。這問題已在1907年由德國數學家解決。黎曼曲面理論和這問題有一定關係。 參見 大衛·希爾伯特 曲面理論 自守函數 參考資料 *
西格爾模形式
在數學中，西格爾模形式是辛群上的自守形式。西格爾模形式是西格爾上半平面上的一類多變元全純函數，模形式是其特例。在模空間的意義下，若模形式對應到橢圓曲線，則西格爾模形式便對應更廣的阿貝爾簇。 卡爾·西格爾在1930年代引入這個概念，本意在以解析數論處理二次型的問題。西格爾模形式後來也用於代數幾何、橢圓上同調及某些物理學問題，例如共形場論。 定義 固定正整數 g, N。首先定義西格爾上半平面為 :\mathcal{H}_g=\left\{\…
希爾伯特模形式
在數學中，希爾伯特模形式是一類自守形式，對應於全實域 K 及相應的群 \mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}} GL(2)_K。這可以視作模形式的一種多變元推廣。當 K=\mathbb{Q} 時，我們回到模形式的定義。 定義 對於 m 次全實域 K、\mathcal{O} 為其中的代數整數環、 \sigma_1, \ldots, \sigma_m: K \to \mathbb{R} 為相應的實嵌入映射。由此得到嵌入映射 :…