在數學中，西格爾模形式是辛群上的自守形式。西格爾模形式是西格爾上半平面上的一類多變元全純函數，模形式是其特例。在模空間的意義下，若模形式對應到橢圓曲線，則西格爾模形式便對應更廣的阿貝爾簇。
卡爾·西格爾在1930年代引入這個概念，本意在以解析數論處理二次型的問題。西格爾模形式後來也用於代數幾何、橢圓上同調及某些物理學問題，例如共形場論。
定義
固定正整數 g, N。首先定義西格爾上半平面為
:\mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{T}=\tau, \textrm{Im}(\tau) >0 \right\},
換言之，此即虛部正定之對稱矩陣構成的空間。
再定義一個離散子群
:\Gamma_g(N)=\left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big| \ \gamma^{T} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} , \ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},
其中 I_g 表 g \times g 階單位矩陣。
再設
:\rho:\textrm{GL}(g,\mathbb{C}) \rightarrow \textrm{GL}(V)
為一有理複表示，這相當於說 \rho 是代數簇之間的有理映射，並保持群運算。
現在可以定義西格爾模形式：對任一函數 f: \mathcal{H}_g \to V，我們採用下述符號
:\gamma=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
:(f\big|\gamma)(\tau) := (\rho(C\tau+D))^{-1}f(\gamma\tau).
所謂權為 \rho、次數為 g、階為 N 的西格爾模形式，是滿足下述條件的全純函數 f: \mathcal{H}_g \to V
:\forall \gamma \in \Gamma_g(N)\; (f\big|\gamma)=f.
當 g=1 時，須要求 f 在無窮遠處全純。對於 g>1，可證明此條件自動成立（Koecher 定理）。
外部連結
*[https://web.archive.org/web/20120205185740/http://www.citebase.org/fulltext?format=application%2Fpdf&identifier=oai%3AarXiv.org%3Amath%2F0605346 Gerard van der Geer, Lecture notes on Siegel modular forms (PDF)]
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