模形式
在数学上，模形式（Modular form）是一种解析函数，这种函数的只接受来自复数平面内上半平面中的值，并且这种函数在一個在的群运算之下，会变成某种类型的函数方程，并且通过函数计算出的值也会呈现出某个增长趋势。模形式理論屬於解析数论的範疇。模形式也出現在其他領域，例如代數拓撲和弦理論。 模形式理論是更廣泛的自守形式理論的特例。自守形式理論的發展大致可分成三期： 19世紀初：探討與橢圓函數相關的方面。 19世紀末：此時單變數自守形式的概…
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共 15 篇文章
谷山-志村定理
谷山-志村定理（）建立椭圆曲线（代数几何的对象）和模形式（数论中用到的某种周期性全纯函数）之间的重要联系。 定理的证明由英國數學家安德鲁·怀尔斯、理查·泰勒、法國數學家、美國數學家和所完成。 若p是一个质数而E是一个Q（有理数域）上的一个椭圆曲线，可以简化定义E的方程模p；除了有限个p值，会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列 :ap = np − p, 这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也…
Ε-猜想
在数学中，Ribet定理（，以前稱為ε猜想）是數論中關於與模形式相關的性質的陳述。它由讓-皮埃爾·塞爾提出並由肯尼斯·阿蘭·黎貝證明。ε猜想的證明是證明費馬大定理的重要一步。如Serre和Ribet所示，谷山－志村定理（當時未解決的狀態）和ε猜想意味著費馬大定理是正確的。 在數學術語中，Ribet定理表明，如果與橢圓曲線相關的伽羅瓦表示具有某些特性，那麼該曲線不能是模形式的（在不存在產生相同伽羅瓦表示的模形式的意義上）。 另見 Abc猜…
拉马努金Θ函数
拉马努金theta函数是一个由印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金定义的双变量复变theta函数，推广了雅可比theta函数，被广泛地运用在q-函数和级数的理论中。 定义 拉马努金theta函数被定义为 : f(a,b)\equiv\sum_{k=-\infty}^\infty a^{k(k+1)/2}b^{k(k-1)/2};/|ab|而其中f(a,b)=f(b,a) 对于所有的\forall a=-1，拉马努金theta函数取到简单零点。…
Θ函數
數學中，Θ函數是一種特殊函數。其應用包括與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論，尤其於超弦與D-膜理論。 Θ函數最常見於椭圓函數理論。相對於其「z」 變量，Θ函數是拟周期函数（quasiperiodic function），具有「擬周期性」。在一般中，Θ函數是來自線叢條件。 雅可比Θ函數 雅可比Θ函數取二變量z\,與\tau\,，其中z\,為任何複數，而 \tau\,為上半複平面上一點；此函數之定義為： :\…
橢圓函數
在複分析中，橢圓函數是複平面上的雙週期亞純函數。歷史上，橢圓函數起初被視作橢圓積分之逆。 更明確地說，固定\mathbb{C}中的格\Lambda := \mathbb{Z}a \oplus \mathbb{Z}b \subset \mathbb{C}（a,b \in \mathbb{C}），亞純函數f是\Lambda的橢圓函數，若且唯若對每個z \in \mathbb{C}, \ell \in \Lambda皆有f(z+\ell)=f…
模λ函數
，其中黑色代表0、白色代表無窮、灰色代表未定義點、其餘顏色的色相代表複數輻角且明亮度代表複數的模，繪製範圍在實部-3至3內、虛部-3至3內。從中可以看到模λ函數僅在複數上半平面有定義，並具備高度對稱性，並且沿著實數軸每2個單位圖樣會重複一次]] 在數學中，模λ函數\lambda(\tau)，又稱橢圓λ函數，是定義於複上半平面H的全純函數，具有高度對稱性。该函数在同餘子群Γ(2)的对H的分式線性作用下不變，亦是商空间Γ(2)\H上函數域的…
模方程
數學中的模方程（modular equation）是一個滿足模問題下模量（moduli）定義的代数方程。給定一些在模空间中的函數，模方程是一些和這些函數的方程，或是一些在模量下成立的恆等式。 模方程最常見的用法，是指椭圆曲线的模量問題（moduli problem）。此處的模空间是一維的，若在模曲線的任意兩個有理函數F及G，會滿足一個模方程P(F,G) = 0，P是二變數的非零複數多項式 。若選擇了適當的，非退化的F和G，可以用方程P(…
戴德金η函數
戴德金η函數（Dedekind eta function）是定義在上半平面的全純函數，這是權1/2的模形式之一例。 對每個屬於上半平面的複數\tau，置q = e^{2\pi i \tau}，則η函數表為 :\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}) η函數滿足以下函數方程： \eta(\tau+1) = \exp(\frac{2 \pi i}{24})\eta(\tau) …
魏爾斯特拉斯橢圓函數
在數學中，魏爾斯特拉斯橢圓函數（Weierstrass's elliptic functions）又稱 p 函數並且以 \wp 符號表示，是格外簡單的一類橢圓函數，也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。 魏爾斯特拉斯p函數的符號 定義 固定 \mathbb{C} 中的格 \Lambda = \mathbb{Z}\omega_1 \oplus \mathbb{Z}\omega_2（ \omega_1, \om…
西格爾模形式
在數學中，西格爾模形式是辛群上的自守形式。西格爾模形式是西格爾上半平面上的一類多變元全純函數，模形式是其特例。在模空間的意義下，若模形式對應到橢圓曲線，則西格爾模形式便對應更廣的阿貝爾簇。 卡爾·西格爾在1930年代引入這個概念，本意在以解析數論處理二次型的問題。西格爾模形式後來也用於代數幾何、橢圓上同調及某些物理學問題，例如共形場論。 定義 固定正整數 g, N。首先定義西格爾上半平面為 :\mathcal{H}_g=\left\{\…
上半平面
上半平面（upper half-plane）H是一数学名詞，是指由虛部為正的复数組成的集合： :\mathbb{H} = \{x + iy \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}. 此詞語的由來是因為虛數x + iy常視為是在笛卡儿坐标系下，平面中的點(x,y)，若垂直方向為Y軸時，其上半平面對應X軸以上的區域，因此也對應y > 0區域的複數。 上半平面是許多複分析中重要函數的定義域，特別是模形式。y n，…
艾森斯坦級數
在數學中，艾森斯坦級數是一類可直接表成級數的模形式，由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群，羅拔;}-·朗蘭茲也發展了相應的理論。 模群的艾森斯坦級數 固定整數 k>1。對上半平面上的複數 \tau，定義艾森斯坦級數 G_{2k} 為 : G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}. 此級數是上半平面上的全純函數，此外它更是模群 \Gamma :=…
模曲線
在代數幾何及數論領域，模曲線是一類緊黎曼曲面，同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。 「模曲線」一詞源於以下事實：模曲線參數化了一族橢圓曲線，因而是一種模空間。志村簇是模曲線在高維度的類比。 定義 考慮上半平面 \mathcal{H} := \{z \in \mathbb{C} : \hbox{Im}(z) > 0 \}。取 \mathcal{H} 對模群 \Gamma := \hbox…
希爾伯特模形式
在數學中，希爾伯特模形式是一類自守形式，對應於全實域 K 及相應的群 \mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}} GL(2)_K。這可以視作模形式的一種多變元推廣。當 K=\mathbb{Q} 時，我們回到模形式的定義。 定義 對於 m 次全實域 K、\mathcal{O} 為其中的代數整數環、 \sigma_1, \ldots, \sigma_m: K \to \mathbb{R} 為相應的實嵌入映射。由此得到嵌入映射 :…