拉马努金theta函数是一个由印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金定义的双变量复变theta函数，推广了雅可比theta函数，被广泛地运用在q-函数和级数的理论中。
定义
拉马努金theta函数被定义为
: f(a,b)\equiv\sum_{k=-\infty}^\infty a^{k(k+1)/2}b^{k(k-1)/2};/|ab|而其中f(a,b)=f(b,a)
对于所有的\forall a=-1，拉马努金theta函数取到简单零点。
拉马努金theta函数也可以用q-珀赫哈默尔符号定义，如
: f(a,b)=(-a;ab)_\infty(-b;ab)_\infty(ab;ab)_\infty
这说明与其他theta函数类似，拉马努金theta函数也与q-模拟存在紧密联系。它有一个积分表示，
f(a,b)= 1 + \int_0^{\infty} \frac{2a\exp(-t^2/2)}{\sqrt{2\pi}}\left[ \frac{1 - a \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\ln(ab)} t\right)}{ 1+a^3 b - 2a \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\ln(ab)} t\right)} \right] dt + \int_0^{\infty} \frac{2b\exp(-t^2/2)}{\sqrt{2\pi}}\left[ \frac{1 - b \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\ln(ab)} t\right)}{ 1+a b^3 - 2b \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\ln(ab)} t\right)} \right]dt
与其他函数的联系
单变量的拉马努金theta函数被定义成
: f(-q)\equiv f(-q,-q^2)=(q,q)_\infty;/|q|
此外，拉马努金phi函数，拉马努金psi函数和拉马努金chi函数也是拉马努金theta函数的特殊单变量情形。它们之间的关系可以被解释为：
: \varphi(q)\equiv f(q,q)=\frac{(-q,-q)_\infty}{(+q,-q)_\infty}
而它就是第三雅可比theta函数的特例\varphi(q)=\vartheta_3(q)，它的级数表达是OEIS中的数列[https://oeis.org/A000122 A000122] 。
: \psi(q)\equiv f(q,q^3)=\frac{(q^2,q^2)_\infty}{(q,q^2)_\infty}
它的级数表达是OEIS中的数列[https://oeis.org/A010054 A010054] 。
: \chi(q)\equiv f(-q,q^2)
它的级数表达是OEIS中的数列[https://oeis.org/A000700 A000700] 。
應用
拉馬努金theta函數用於確定玻色弦理論、超弦理論和M理論中的。
参考资料
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