Θ函數

數學中，Θ函數是一種特殊函數。其應用包括與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論，尤其於超弦與D-膜理論。

Θ函數最常見於椭圓函數理論。相對於其「z」 變量，Θ函數是拟周期函数（quasiperiodic function），具有「擬周期性」。在一般中，Θ函數是來自線叢條件。

雅可比Θ函數
雅可比Θ函數取二變量z\,與\tau\,，其中z\,為任何複數，而 \tau\,為上半複平面上一點；此函數之定義為：
:\vartheta (z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \ e^{(\pi i n^2 \tau +2 \pi i n z ) }。
若固定 \tau\, ，則此成為一週期為 1 \,的單變量(z)\,整函數的傅里葉級數：
:\vartheta( z+1; \tau) = \vartheta (z; \tau) 。
在以 \tau\, 位移時，此函數符合：
:\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \ e^{(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)}\vartheta(z;\tau)；
其中 a \,與b \,為整數。

File:Animation Jacobi Theta1.gif
File:Animation Jacobi Theta2.gif
File:Animation Jacobi Theta3.gif
File:Animation Jacobi Theta4.gif

輔助函數
可定義輔助函數：
:\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+\frac{1}{2};\tau)
:\vartheta_{10}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} z}\vartheta(z+\frac{\tau}{2};\tau)
:\vartheta_{11}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} (z+\frac{1}{2})}\vartheta(z+\frac{\tau+1}{2};\tau).
其中符號依黎曼與芒福德之習慣；雅可比的原文用變量q = e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,替換了\tau\,，而稱本条目中的Θ為\theta_3\,，\vartheta_{01}為\theta_0\,，\vartheta_{10}為\theta_2\,，\vartheta_{11}為-\theta_1\,。

若設z= 0 \,，則我们可從以上獲得四支單以\tau\,為變量之函數，其中\tau\,取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」（theta constant）；我们可以用Θ函數定義一系列模形式，或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得：
:\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4,
是為四次費馬曲線。

雅可比恆等式
雅可比恆等式描述模羣在Θ函數之作用；模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。設：

:\alpha = (- {\mathrm{i}} \tau)^{\frac{1}{2}} e^{{\pi {\mathrm{i}} z^2}{\tau}}\,

則

:\vartheta (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta(z; \tau)

:\vartheta_{01} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{10}(z; \tau)

:\vartheta_{10} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{01}(z; \tau)

:\vartheta_{11} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = -\alpha \vartheta_{11}(z; \tau)

以nome q表示Θ函數
我们可用變量w\,與q\,，代替z \,與\tau\,，來表示ϑ。設w =e^{\pi {\mathrm{i}} z}\,而q =e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,。則ϑ可表示為：
:\vartheta(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.

而輔助Θ函數可表示為：

:\vartheta_{01}(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n}q^{n^2},

:\vartheta_{10}(w; q) = q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n+1}q^{n^2+n},

:\vartheta_{11}(w; q) = {\mathrm{i}} q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n+1}q^{n^2+n}.

此表示式不需要指數函數，所以適用於指數函數無每一處定義域，如p進數域。

乘積表示式
雅可比三重積恆等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有複數w\,和q\,，其中|q|而w \neq 0\,，則
:\prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + w^{2}q^{2m-1}\right)
\left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.

此式可以用基本方法證明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》（）。

若用nome變量q = e^{\pi i \tau}\,與w = e^{\pi i z}\,表示，則有：

:\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(\pi i z 2n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.

由此得到Θ函數的積公式：

:\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right)

三重積等式左邊可以擴展成：

:\prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + (w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),

即

:\vartheta(z|q) = \prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)。

这个式子在z取實值時尤為重要。
各輔助Θ函數亦有類似之積公式：

:\vartheta_{01}(z|q) = \prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).

:\vartheta_{10}(z|q) = 2 q^{1/4}\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).

:\vartheta_{11}(z|q) = -2 q^{1/4}\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).

積分表示式
雅可比Θ函數可用積分表示，如下：

:\vartheta (z; \tau) = -i
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2}
\cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} du

:\vartheta_{01} (z; \tau) = -i
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2}
\cos (2 u z) \over \sin (\pi u)} du.

:\vartheta_{10} (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4}
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2}
\cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du

:\vartheta_{11} (z; \tau) = e^{iz + i \pi \tau / 4}
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2}
\cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du

與黎曼ζ函數的關係
黎曼常用關係式
:\vartheta(0;-\frac{1}{\tau})=(-i\tau)^{\frac{1}{2}} \vartheta(0;\tau)
以證黎曼ζ函數之函數方程。他寫下等式：

:\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) =
\frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right]
t^{\frac{s}{2}}\frac{dt}{t} ；
而此積分於替換s \to 1-s 下不變。 z\,非零時之積分，在赫尔维茨ζ函數一文有描述。

與基本椭圓函數之關係
雅可比用Θ函數來構造椭圓函數，並使其有易於計算之形式，因为Θ函數中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圓函數成兩枚上述Θ函數之商，这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比Θ構造：

:\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau))* + c

其中二次微分相對於z，而常數c使\wp(z)的罗朗級數（於 z = 0）常項為零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏爾施特拉斯橢圓函數的所有极点留数均为零，所以这是必要的。

與模形式之關係
設η為戴德金η函數。則
:\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\tau+\frac{1}{2}\right)}{\eta(2\tau+1)}.

解熱方程
雅可比Θ函數為一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設z = x取實值，τ = it而t取正值。則有

:\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)

此解此下方程：

:\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)。

於t = 0時，Θ函數成為「狄拉克梳状函数」（Dirac comb）
:\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)，
其中δ為狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。
因此，一般解可得自t = 0時的（週期）邊界條件與Θ函數的卷積。

與海森堡羣之關係
雅可比Θ函在海森堡羣之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示一文。

推廣
若F為一n元二次型，則有一關連的Θ函數

:\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))
其中Zn為整數格。此Θ函數是模羣（或某適當子羣）上的權n/2 模形式。在其富理埃級數
:\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)
中，RF(k) 稱為此模形式之「表示數」（representation numbers）。

拉马努金Θ函數
黎曼Θ函數
設

:\mathbb{H}_n=\{F\in M(n,\mathbb{C}) \; \mathrm{s.t.}\, F=F^T \;\textrm{and}\; \mbox{Im} F >0 \}

為一集對稱方矩陣，其虚部為正定，一般稱Hn為“西格尔上半平面”（Siegel upper half-plane），它是上半複平面的高維推廣。模羣之n維推廣為辛羣Sp(2n,Z)： 當n = 1 時， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群（congruence subgroup）的n維推廣為態射核\textrm{Ker} \{\textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \}。

若設\tau\in \mathbb{H}_n，則可定義黎曼Θ函數：
:\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)；
:\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i
\left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)；

其中z\in \mathbb{C}^n為一n維複向量，上標T為轉置。然則雅可比Θ函數為其特例（設n = 1、 \tau \in \mathbb{H}；其中\mathbb{H}為上半平面）。

在\mathbb{C}^n\times \mathbb{H}_n.的緊緻子集上，黎曼Θ函數絶對一致收歛。

函數方程為：

:\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i
\left(-b^Tz-\frac{1}{2}b^T\tau b\right) \theta (z,\tau)；

此方程成立於
a,b \in \mathbb{Z}^n, z \in \mathbb{C}^n ， \tau \in \mathbb{H}_n。

q-Θ函數
参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
• G. H. Hardy and E. M. Wright，An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
• David Mumford，Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
• James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
• Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.