戴德金η函數

戴德金η函數（Dedekind eta function）是定義在上半平面的全純函數，這是權1/2的模形式之一例。

對每個屬於上半平面的複數\tau，置q = e^{2\pi i \tau}，則η函數表為
:\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})

η函數滿足以下函數方程：

• \eta(\tau+1) = \exp(\frac{2 \pi i}{24})\eta(\tau)
• \eta(-1/\tau) = \sqrt {\frac{\tau}{i}} \eta(\tau)

此處的根號是方根函數在右半平面的解析延拓
: re^{i\theta} \mapsto r^{1/2} e^{i\theta/2}, \quad |\theta| 。

一般而言，對a,b,c,d \in \mathbb{Z}, ab-cd=1，我們有
:\eta \left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d} \right) =
\epsilon (a,b,c,d) \left( -i(c\tau+d) \right)^{1/2} \eta(z)
其中的自守因子\epsilon定為
:\epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left( \frac{a+d}{12c} + s(-d,c) \right) 。
而s(h,k)為戴德金和
:s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k}
\left( \frac{hn}{k} - \left\lfloor \frac{hn}{k} \right\rfloor -\frac{1}{2} \right)

由此函數方程可知η是權1/2的模形式，因此可由η構造更多的模形式，例如魏爾施特拉斯的模判別式即可表為
:\Delta(\tau) = (2 \pi)^{12} \eta(\tau)^{24}。

事實上，由函數方程可知\eta^{24}是權12的模形式，而這類模形式構成複一維向量空間，比較傅里葉展開的常數項，上式立可得證。

拉馬努金有一個著名的猜想：在傅立葉展開式中，對任一素數，的係數的絕對值恆。此猜想最後由德利涅證明。

上述諸例點出了模形式與若干古典數論問題的聯繫，例如以二次型表示整數以及整數分拆問題。赫克算子（英語：Hecke operator）理論闡釋了模形式與數論的關鍵聯繫，同時也聯繫了模形式與表示理論。

文獻

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0

外部連結
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