艾森斯坦級數

在數學中，艾森斯坦級數是一類可直接表成級數的模形式，由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群，羅拔;}-·朗蘭茲也發展了相應的理論。

模群的艾森斯坦級數
固定整數 k>1。對上半平面上的複數 \tau，定義艾森斯坦級數 G_{2k} 為
:
G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.

此級數是上半平面上的全純函數，此外它更是模群 \Gamma := \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) 的權 2k 模形式。換言之，若 a,b,c,d \in \mathbb{Z} 滿足 ad-bc=1，則
:
G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)

遞迴關係
模形式理論中的一個基本事實是：模群 \Gamma 的模形式俱可表為 G_4 與 G_6 的多項式。作為特例，以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 G_4, G_6 的多項式。

置 d_k := (2k+3)k!G_{2k+4}，遂有下述關係式：
:\sum_{k=0}^n {n \choose k} d_k d_{n-k} = \frac{2n+9}{3n+6}d_{n+2}
在此 {n \choose k} 是二項式係數而 d_0=3G_4、d_1=5G_6。

函數 d_k 可以表示魏爾斯特拉斯 \wp 函數：
:\wp(z)
=\frac{1}{z^2} + z^2 \sum_{k=0}^\infty \frac {d_k z^{2k}}{k!}
=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} z^{2k}

傅立葉展開
置 q=e^{2\pi i\tau}。由於艾森斯坦級數是模群的模形式，故有傅立葉展開式
:
G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)

其中的傅立葉係數 c_{2k} 是
:
c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}}
。

此處的 B_n 是伯努利數，\zeta(z)是黎曼ζ函數，而 \sigma_p(n) 是 n 的正因數的 p 次冪和。
:G_4(\tau)=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right]
:G_6(\tau)=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right]

當 |q|，對 q 之和亦可化成蘭伯特級數
:\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}。

有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數：
:E_{2k} := \frac{G_{2k}}{2 \zeta(2k)} = 1 - \frac{4k}{B_{2k}} \sum_{n=1}^\infty \sigma_{2k-1}(n) q^n 。

拉馬努金公式
拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式：定義
:L(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n} = E_2(\tau)
:M(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n} = E_4(\tau)
:N(q)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n} = E_6(\tau)
則有
:q\frac{dL}{dq} = \frac {L^2-M}{12}
:q\frac{dM}{dq} = \frac {LM-N}{3}
:q\frac{dN}{dq} = \frac {LN-M^2}{2}

文獻

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
• Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
• Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.