在數學中，希爾伯特模形式是一類自守形式，對應於全實域 K 及相應的群 \mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}} GL(2)_K。這可以視作模形式的一種多變元推廣。當 K=\mathbb{Q} 時，我們回到模形式的定義。
定義
對於 m 次全實域 K、\mathcal{O} 為其中的代數整數環、 \sigma_1, \ldots, \sigma_m: K \to \mathbb{R} 為相應的實嵌入映射。由此得到嵌入映射
:\mathrm{GL}(2,F) \to \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})^m, \quad g \mapsto (\sigma_1(g),\ldots,\sigma_m(g))
設 \mathcal{H} = \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})/\mathrm{SO}(2,\mathbb{R}) 為上半平面，透過上述嵌入，\mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O})（指 \mathrm{GL}(2,\mathcal{O}) 中行列式為正的元素）作用於 \mathcal{H}^m 上。
對 g = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in GL(2,\mathbb{R})，定義自守因子之值為
: j(g, z) = (\det g)^{-\frac{1}{2}} (cz+d)
權為 (k_1, \cdots, k_m) 之希爾伯特模形式是指 \mathcal{H}^m 上滿足下述函數方程的全純函數
:
\forall \gamma \in \mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O}),\; f(\gamma z) = \prod_{i=1}^m j(\sigma_i(\gamma), z_i)^{k_i} f(z).
此定義與模形式的差異在於：當 K \neq \mathbb{Q} 時，不需要另加增長條件，這是 Koecher 定理的一個推論。
文獻
- Paul B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
- Eberhard Freitag, Hilbert Modular Forms. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5
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