模λ函數

，其中黑色代表0、白色代表無窮、灰色代表未定義點、其餘顏色的色相代表複數輻角且明亮度代表複數的模，繪製範圍在實部-3至3內、虛部-3至3內。從中可以看到模λ函數僅在複數上半平面有定義，並具備高度對稱性，並且沿著實數軸每2個單位圖樣會重複一次]]
在數學中，模λ函數\lambda(\tau)，又稱橢圓λ函數，是定義於複上半平面H的全純函數，具有高度對稱性。该函数在同餘子群Γ(2)的对H的分式線性作用下不變，亦是商空间Γ(2)\H上函數域的生成元；也就是說，這個函數是模曲線X(2)的。特别地，该函数沿實軸平移兩個單位，函數值不改变，即\lambda(\tau+2)=\lambda(\tau) 。在任意點\tau上，其值可用於描述橢圓曲線E=\mathbb{C}/\langle 1, \tau \rangle对其投影線E/[-1]的分歧覆盖映射的四个之交比，式中[-1]为E对原点的反演变换生成的自同构群。

模λ函數具有如下的傅立叶展开式：
: \lambda\left(\tau\right) = 16q - 128q^2 + 704 q^3 - 3072q^4 + 11488q^5 - 38400q^6 + \dots，其中q = e^{\pi i \tau}。

模性質
模λ函數在由下式生成的的主同余子群Γ(2)的作用下保持不变：
: \tau \mapsto \tau+2 \ ;\ \tau \mapsto \frac{\tau}{1-2\tau} \ .

模群自身的生成元则以如下方式作用于模λ函数之上：
: j(\tau) = \frac{256(1-\lambda(1-\lambda))^3}{(\lambda(1-\lambda))^2} = \frac{256(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2 (1-\lambda)^2} \ .

橢圓模量
，繪製範圍在實部-3至3內、虛部-3至3內]]
，繪製範圍在實部-1至1內、虛部-1至1內]]
有一個與模λ函數相關的函數：λ*(x)函數，其給出了橢圓模量k的值。第一類完全橢圓積分K(k)與其互補對應的K\left(\sqrt{1-k^2}\right)關係如下：
:\frac{K\left[\sqrt{1-\lambda^(x)^2}\right]}{K[\lambda^(x)]} = \sqrt{x}
λ*(x)函數的函數值可透過下列式子計算：
:\lambda^*(x) = \frac{\vartheta^2_2[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]}{\vartheta^2_3[0;\exp(-\pi\sqrt{x})]}
:\lambda^*(x) = \left[\sum_{a=-\infty}^\infty\exp[-(a+1/2)^2\pi\sqrt{x}]\right]^2\left[\sum_{a=-\infty}^\infty\exp(-a^2\pi\sqrt{x})\right]^{-2}
:\lambda^*(x) = \left[\sum_{a=-\infty}^\infty\operatorname{sech}[(a+1/2)\pi\sqrt{x}]\right]\left[\sum_{a=-\infty}^\infty\operatorname{sech}(a\pi\sqrt{x})\right]^{-1}
其中\vartheta為Θ函數。

此外λ函數與λ*(x)函數存在下列關聯：
:\lambda^*(x) = \sqrt{\lambda(i\sqrt{x})}

所有的有理數r，K\left(\lambda^(r)\right)與E\left(\lambda^(r)\right)都可以視為橢圓積分的奇異值，可透過有限的伽馬函數表示。

參見
*模形式

參考文獻