模形式
在数学上，模形式（Modular form）是一种解析函数，这种函数的只接受来自复数平面内上半平面中的值，并且这种函数在一個在的群运算之下，会变成某种类型的函数方程，并且通过函数计算出的值也会呈现出某个增长趋势。模形式理論屬於解析数论的範疇。模形式也出現在其他領域，例如代數拓撲和弦理論。 模形式理論是更廣泛的自守形式理論的特例。自守形式理論的發展大致可分成三期： 19世紀初：探討與橢圓函數相關的方面。 19世紀末：此時單變數自守形式的概…
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共 10 篇文章
L函數
在當代數論中，L函數是一類重要的複變數函數，蘊含重要的數論、算術代數幾何或表示理論信息，目前仍有大量待解的猜想。L函數是黎曼ζ函數的推廣，最簡單的例子是狄利克雷L函數，狄利克雷藉此研究等差數列中的素數密度。 許多L函數也有p進數版本。 L函數通常以無窮級數表示，有時也稱為L級數；這種級數通常只對虛部夠大的參數 s 方收斂。一如黎曼ζ函數，L級數往往能延拓為整個複數平面上的亞純函數或全純函數，並具備乘積表法及函數方程。 L函數的例子 黎曼…
高斯和
在數論中，高斯和（）是一種單位根的有限和，可抽象地表為 : G(\chi, \psi) = \sum_{r \in R} \chi(r) \psi(r) 其中 R 為有限交換環，\psi: (R,+) \to \mathbb{S}^1 為同態，\chi: (R^\times,) \to \mathbb{S}^1 亦為同態，對於 r \notin R^\times，可定義 \chi(r) = 0。 這類有限和常見於代數數論與解析數論。此時…
黎曼ζ函數
中一矩形區域之黎曼ζ函數\zeta(z)；此圖用Matplotlib程式繪圖產生，使用到定義域著色方法。]] 黎曼泽塔函數 ，写作 ，其定義如下： 設一複數 使得 ，則定義： :\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} 它亦可以用积分定义： : \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1…
林德勒夫猜想
林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）是一個由芬蘭數學家提出一個關於黎曼ζ函數在臨界線上增長率的猜想。這猜想可由黎曼猜想導出，其形式以大O符號表述如下： 對於任意的\varepsilon > 0而言，在t趨近於無窮時，有\zeta\!\left(\frac{1}{2} + it\right)\! = O(t^\varepsilon) 由於\varepsilon可由一個較小的值取代之故，因此這猜想可重述如下： 對於任意的\…
塞爾伯格跡公式
在數學中，塞爾伯格跡公式是非交換調和分析的重要定理之一。此公式表達了齊性空間 G/\Gamma 的函數空間上某類算子的跡數，其中 G 是李群而 \Gamma 是其離散子群。 塞爾伯格在1956年處理了緊黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。藉由拉普拉斯算子及其冪次，塞爾伯格定義了。此時的公式相似於解析數論關注的「明確公式」：黎曼曲面上的測地線在公式中扮演素數在明確公式裡的角色。 一般而言，塞爾伯格跡公式聯繫了負常數曲率緊曲面上的拉普拉斯算子的…
欣策爾假設H
數學上，欣策爾假設H（Schinzel's hypothesis H）是數論中最有名的開放問題之一。這問題是孿生質數猜想等高度開放問題的大幅推廣。這猜想以波蘭男性數學家為名。 陳述 這假設聲稱，對於任意定義在整數上、由首項係數為正的整係數不可約多項式\{f_1,f_2,\ldots,f_k\}而言，以下兩條有且僅有一條成立： 有無限多的正整數n使得f_1(n),f_2(n),\ldots,f_k(n)皆為質數；或 有一個取決於這整數多項…
狄利克雷L函數
在數學中，狄利克雷L函數是狄利克雷級數的特例，它是形如下式的複變數函數 :L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}. 在此 \chi 是一個狄利克雷特徵，s \in \mathbb{C} 的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。 約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 \chi 具有 L(1,\chi) \neq 0，並藉此證明狄利克雷定理。若 \chi 是主特徵，則 L…
邁爾矩陣法
邁爾矩陣法（Maier's matrix method）是一種由開發出來的解析數論技巧，這技巧可用以證明說質數分布具有特定性質的自然數區間的存在性。特別地，這技巧被用以證明邁爾定理及相鄰質數具有大區間的質數鏈的存在性。這方法利用對算數數列中質數分布的估計來證明特定質數數量已為人所了解的大區間的存在性，而從中可推得說至少一個這樣的區間包含有著滿足所要求的分布的質數。 方法 在這方法中，首先先選取一個質數階乘，然後藉此建構出一個區間，而該區…
哈代-李特爾伍德圓法
在數學裡，哈代-勒特伍德圓法是在解析數論中最常被使用的技術之一。其是以高德菲·哈羅德·哈代和約翰·恩瑟·李特爾伍德來命名的，他們是在一連討論華林問題的論文中發展了此一技術。這個觀念一開始的起源通常被歸功於哈代在1916年和1917年中和拉馬努金在整數分拆的漸進分析中之研究。這被許多其他的研究者們所使用，包括哈羅德·達芬波特和維諾格拉多夫，他們稍微地修改了其公式（由複分析移至指數和），但沒有改變大略的內容。上千篇論文使用著此一方法，且直到…