林德勒夫猜想

林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）是一個由芬蘭數學家提出一個關於黎曼ζ函數在臨界線上增長率的猜想。這猜想可由黎曼猜想導出，其形式以大O符號表述如下：

對於任意的\varepsilon > 0而言，在t趨近於無窮時，有\zeta\!\left(\frac{1}{2} + it\right)\! = O(t^\varepsilon)

由於\varepsilon可由一個較小的值取代之故，因此這猜想可重述如下：

對於任意的\varepsilon > 0而言，有\zeta\!\left(\frac{1}{2} + it\right)\! = o(t^\varepsilon)

μ函數
設\sigma是一個實數，則可定義\mu(\sigma)為所有使得\zeta(\sigma+iT)=O(T^a)的實數a當中的最小數。在這種定義下，易見對於任意的\sigma > 1，有\mu(\sigma)=0，而從黎曼ζ函數的函數方程可導出說\mu(\sigma)=\mu(1-\sigma)-\sigma+\frac{1}{2}。另一方面，由可導出說\mu是一個凸函數。林德勒夫猜想基本就是說，\mu(\frac{1}{2})=0，將此點和上述的性質結合，這猜想也意味著說在\sigma \ge \frac{1}{2}時，\mu(\sigma)=0；而在\sigma \le \frac{1}{2}時，\mu(\sigma)=\frac{1}{2}-\sigma

由於\mu(1)=0且\mu(0)=\frac{1}{2}，因此從林德勒夫對這函數的凸性可導出說0\le\mu(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}。之後G·H·哈代藉由將外爾估計的方式用於近似函數方程的做法，將這上界降至\frac{1}{6}。在那之後數名研究者用長且技術性的數學證明，將之降到稍微低於\frac{1}{6}的數值。下表顯示了對於這數值的改進：

和黎曼猜想間的關係
Backlund在1918至1919年間，證明了說林德勒夫猜想和下述與黎曼ζ函數的零點相關的敘述等價：在T趨近於無窮時，實部至少為\frac{1}{2}+\varepsilon且虛部介於T和T+1之間的零點，其數量會趨近於o(\log{T})。

由於黎曼猜想指稱在這區域中沒有任何零點之故，因此黎曼猜想會導出林德勒夫猜想。目前已知虛部介於T和T+1之間的零點的數量為O(\log{T})，因此林德勒夫猜想似乎只稍強於已知的結果，但盡管如此，人們迄今依舊無法證明林德勒夫猜想。

黎曼ζ函數的冪的平均值
林德勒夫猜想與以下陳述等價：

對於任意的正整數k和正實數\varepsilon而言，有以下等式：

:\frac{1}{T} \int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k}\,dt = O(T^{\varepsilon})

目前已證明這等式對k=1及k=2成立，但k=3的情況似乎困難許多，且依舊是個未解決的問題。

對於這積分的漸近行為，有著下列更加精確的猜想：

一般認為，對某些常數c_{k,j}而言，有以下等式：

: \int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k} \, dt = T\sum_{j=0}^{k^2}c_{k,j}\log(T)^{k^2-j} + o(T)

李特爾伍德證明了k=1的情況，而希斯-布朗藉由推廣英厄姆（Ingham）找到首項係數的結果，證明了k=2的情況。

Conrey和Ghosh推測，在k=6時首項係數應當為
:\frac{42}{9!}\prod_ p \left((1-p^{-1})^4(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)

而Keating和Snaith利用隨機矩陣理論，對k更大的情況的係數的值做出了一些猜測。目前猜想這積分的首項係數的值是某個初等因子、質數的某種乘積，和由下列數列給出的n\times n楊表的數字彼此間的乘積：
:1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ...

其他後果
設p_n為第n個質數，並設g_n = p_{n + 1} - p_n.\ 為質數間隙，則一個由證明的結果顯示，若林德勒夫猜想成立，則對於任意的\varepsilon > 0而言，當n時，有以下不等式：

:g_n\ll p_n^{1/2+\varepsilon}

對於質數間隙，一個比英厄姆的結果更強的猜想是克拉梅爾猜想，其陳述如下：
: g_n = O\!\left((\log p_n)^2\right).

密度假說
密度假說指稱N(\sigma,T)\le N^{2(1-\sigma)+\varepsilon}，其中N(\sigma,T)是\zeta(s)的零點\rho在\mathfrak{R}(s)\ge \sigma以及|\mathfrak{I}(s)|\le T所構成的範圍內的數量，且這假說可由林德勒夫猜想得出。

更一般地，設N(\sigma,T)\le N^{A(\sigma)(1-\sigma)+\varepsilon}，則已知這界限大致和長度為x^{1-1/A(\sigma)}的短區間當中的質數的漸進公式相合。

在1940年證明說A_I(\sigma)=\frac{3}{2-\sigma}，在1971年證明說A_H(\sigma)=\frac{3}{3\sigma-1}；
而及梅納德在2024年的一篇預印本中證明說A_{GM}(\sigma)=\frac{15}{5\sigma+3}並證明說這些公式和\sigma_{I,GM}=7/10相契合。因此古斯和梅納德近期的成果給出了已知最接近\sigma=1/2、符合一般對黎曼猜想期望的數值，並將其界限改進至N(\sigma,T)\le N^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+\varepsilon}，或等價地，漸近地和x^{17/30}成比例。

在理論上，貝克、和三氏對勒讓德猜想的估計的改進、對沒有西格爾零點的區域的估計，以及其他的事情也是可期待的。

L函數
黎曼ζ函數屬於一類被稱為L函數的一類更加一般的函數。

在2010年，及安德烈·瑞斯妮可夫（Andre Reznikov）給出了估計定義在PGL(2)之上的L函數的次凸性值的方法；同一年，阿克沙伊·文卡泰什及給出了估計定義在GL(1)和GL(2)之上的L函數的次凸性值的方法；而在2021年，保羅·尼爾森（Paul Nelson）估計定義在GL(n)之上的L函數的值的方法。

參見

• 中的林德勒夫猜想

註解和參考資料
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• [https://books.google.com/books/about/Riemann_s_Zeta_Function.html?id=ruVmGFPwNhQC 2001 pbk reprint]

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