高斯和

在數論中，高斯和（）是一種單位根的有限和，可抽象地表為
: G(\chi, \psi) = \sum_{r \in R} \chi(r) \psi(r)

其中 R 為有限交換環，\psi: (R,+) \to \mathbb{S}^1 為同態，\chi: (R^\times,*) \to \mathbb{S}^1 亦為同態，對於 r \notin R^\times，可定義 \chi(r) = 0。

這類有限和常見於代數數論與解析數論。此時通常取 R := \Z/n\Z，特徵 \psi 必為 \psi(x) = e^{2\pi i \alpha x/n} 之形式（\alpha \in \Z），此處的 \chi 不外是一個狄利克雷特徵。這類高斯和有時也記為 \tau_{\alpha}(\chi)，出現於狄利克雷L函數的函數方程中。

高斯和的絕對值可透過抽象調和分析的方法導出，其確切值則較難確定。高斯首先算出了二次高斯和，此時取 R = \Z/p\Z，其中 p 為素數，並取 \chi(x) := \left( \frac{x}{p} \right) 為勒讓德符號。高斯和遂化為下述指數和：
: \tau_\alpha = \sum_{x=0}^{p-1} e^{2\pi i \alpha x^2/p}
高斯得到的結果是：
: \tau_\alpha =
\begin{cases}
\left(\frac{\alpha}{p}\right) \sqrt{p}, & p \equiv 1 \mod 4 \\
\left(\frac{\alpha}{p}\right) i \sqrt{p}, & p \equiv 3 \mod 4
\end{cases}

由此可導出二次互反律的一種證明；二次高斯和也與Theta 函數理論相關。

文獻
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