狄利克雷L函數

在數學中，狄利克雷L函數是狄利克雷級數的特例，它是形如下式的複變數函數

:L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.

在此 \chi 是一個狄利克雷特徵，s \in \mathbb{C} 的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。

約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 \chi 具有 L(1,\chi) \neq 0，並藉此證明狄利克雷定理。若 \chi 是主特徵，則 L(s,\chi) 在 s=1 有單極點。

零點

• 若 \chi 是原特徵，\chi(-1)=1，則 L(s,\chi) 在 \mathrm{Re}(s) 的零點是負偶數。
• 若 \chi 是原特徵，\chi(-1)=-1，則 L(s,\chi) 在 \mathrm{Re}(s) 的零點是負奇數。

不論可能的西格爾零點，狄利克雷L函數有與黎曼ζ函數相似的無零點區域，包括 \{s:\mathrm{Re}(s) \geq 1\}。一如黎曼ζ函數，狄利克雷L函數也有相應的廣義黎曼猜想。

函數方程
假設 \chi 是模 k 的原特徵。定義
:\Lambda(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2}
\Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),
此處 \Gamma 表Γ函數，而符號 a 由下式給出
:a=\begin{cases}0,& \quad\chi(-1)=1, \\ 1,&\quad\chi(-1)=-1,\end{cases}

則有函數方程
:\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi).
此處的 \tau(\chi) 表高斯和
:\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi in/k).
我們亦有 |\tau(\chi)| = k^{\frac{1}{2}}。

文獻
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