數學上所謂的自守形式（），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。

龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。

古典定義
設 \Gamma 為作用於複區域 D 的離散群。取定自守因子 j_{\gamma}(x), \;(\gamma \in \Gamma, x \in D) 及權 m \in \N。相應的權 m 自守形式是 D 上滿足下述函數方程的全純函數
: j_{\gamma}(x)^m f(\gamma(x)) = f(x), \quad x \in D, \gamma \in \Gamma。

自守因子 j_\gamma(x) 當 \gamma 固定時是 D 上的全純函數，並且是 \Gamma 上的 1-閉上鏈。

定義中的複值函數 f 可推廣成取值為矩陣的函數；權 m 的限制亦可放鬆，例如半整數 m \in \frac{1}{2}+\Z。

群上的定義
自守形式另有群表示理論的詮釋，並牽涉數論，但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見，以下設 G=\mathrm{GL}(n)，其中心可等同於 \mathbb{G}_m。

考慮整體域 F（例如 F=\mathbb{Q}），由此定義 G 的阿代爾點 G(\mathbb{A}_F)，賦予相應的拓撲結構，並取定標準的緊子群 K。

固定一擬特徵 \omega: F^\times \backslash \mathbb{A}_F^\times \to \mathbb{C}^\times。以 \omega為中心特徵的自守形式定為 G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F) 上滿足下列條件的複值函數 f：

f 光滑：若 F 為函數域，這代表 f 是局部常數函數。否則意謂存在一組 G(\mathbb{A}_F) 的開覆蓋 \mathcal{U}，對每個 h \in U \in \mathcal{U}，f(h) = f_U(h_\infty)，而 f_U 無窮可微。

对任何z \in \mathbb{A}_F 及任何 h，总有 f(z \cdot h) = \omega(z)f(h)。

f 右 K-有限：函數 f(\cdot k) \;(k \in K) 張成有限維向量空間。

承上，設 \mathcal{Z}_v 為泛包絡代數 U(\mathfrak{gl}(n,F_v)) 之中心，則 f 為 \mathcal{Z}_v-有限。

緩增性：固定適當的高度函數 \|\cdot\|: G(\mathbb{A}_F) \to \mathbb{R}_{>0}（取法不影響定義），存在常數 C 及 N \in \N 使得 |f(g)| \leq C\|g\|^N。

註記. 若 v 是 F 的阿基米德賦值，條件二中張出的空間在李代數 \mathfrak{gl}(n,F_v) 的作用 f \mapsto Xf 下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數。

若對所有 r+s=n\, (0 皆有
: \int_{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb{A}_F)} f\begin{pmatrix} I_r & X \\ 0 & I_s\end{pmatrix} \,dX = 0
則稱 f 為尖點形式。

自守表示
定義 \mathcal{A}(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega) 為中心特徵為 \omega 的自守形式集，子空間 \mathcal{A}_0(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega) 則為尖點形式集。

這兩個空間是有限阿代爾群 G(\mathbb{A}_\mathrm{fin}) 的表示；對阿基米德賦值則帶有 (\mathfrak{g},K)-模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數 \mathcal{H}_{G(\mathbb{A}_F)} 的表示。注意：它們並非 G(\mathbb{A}) 的表示！

一個自守表示是 \mathcal{H}_{G(\mathbb{A}_F)}-模 \mathcal{A}(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega) 之子商，\omega 稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示是 \mathcal{A}_0(G(F)\backslash G(\mathbb{A}_F), \omega) 之子空間。

参考文献
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• Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7
• Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 .

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