卡茨-穆迪代数是一個李代數，通常無限維，其定義自（Victor Kac所謂的）廣義根系。卡茨-穆迪代数的應用遍及數學和理論物理學。
定義
假定以下材料：
C = (c_{ij}) ——一個r階廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix) C = (c_{ij}) r*.
\mathfrak{h} ———— 一個 2n − r*維複向量空間 \mathfrak{h}.
\mathfrak{h}^ ———— \mathfrak{h}的對偶空間
\alpha_i\ ————\mathfrak{h} 中 n 枚相互獨立的元，稱為對偶根*(co-root)
\alpha_i^ ————\mathfrak{h}^ 中n* 枚線性相互獨立的元 ,稱為根(root)
上述各元滿足 \alpha_i^(\alpha_j) = c_{ij}.
卡茨-穆迪代数\mathfrak{g}
由符號 e_i , f_i (i=1,..,n) 及空間\mathfrak{h} 生成：
以上各元滿足以下關係：
- [e_i,f_i] = \alpha_i.\
- [e_i,f_j] = 0\ ；其中 i \neq j.
- [e_i,x]=\alpha_i^*(x)e_i, 其中x \in \mathfrak{h}.
- [f_i,x]=-\alpha_i^*(x)f_i, 其中 x \in \mathfrak{h}.
- [x,x'] = 0\ ；其中 x,x' \in \mathfrak{h}.
- [e_i,[e_i,\ldots,[e_i,e_j]]] = \mathcal C_{e_i}^{1-c_{ij}}\;e_j = 0 ;其中e_i.\ 出現 1-c_{ij}\ 次;
- [f_i,[f_i,\ldots,[f_i,f_j]]] = \mathcal C_{f_i}^{1-c_{ij}}\;f_j = 0 ;其中f_i.\ 出現 1-c_{ij}\ 次;
(其中 \mathcal C_{x}\;y = [x,y].)
一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為 Kac–Moody代數，若其 複化 是個 Kac–Moody代數.
釋義
*\mathfrak{h} 是此卡茨-穆迪代数的一嘉當子代數。
若 g* 是 Kac–Moody 代數的一元，使得
:\forall x\in \mathfrak{h}\,[g,x]=\omega(x)g
其中 ω 是 \mathfrak{h}^*的一元，
則稱g 為 權(weight) ω的. 我们可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間，則嘉當子代數 \mathfrak{h}的冪为零，ei的冪为α*i，而fi的冪为−α*i。若二冪特徵向量的李括號非零，則其冪是二冪之和。（若 i \neq j ) 則 [e_i,f_j] = 0\ 一條件即指 α*i 都是簡單根。
分類
我们可分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS, 其中 D 是 正對角矩陣, S 是 對稱矩陣。
然則有三種可能:
*\mathfrak{g} 有限維 單李代數 (S 正定)
- \mathfrak{g} 是 仿射李代數 (S 正半定)
- 雙曲 (S 不定)
S 不可能 負定 或 負半定 因其對角元皆正.
參見
*外爾-卡茨特徵標公式
*广义卡茨-穆迪代数
參考
*>, Victor Kac, Cambridge University Press
*[http://eom.springer.de/K/k055050.htm Encyclopaedia of Mathematics, Springer On-line References]
评论 (0)