李超代数是李代数的推广，包含了Z2分次代数。李超代数在理论物理中十分重要，用于描述超对称的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应玻色子，奇元素大多对应费米子（也有相反者，如BRST超对称）。

定义
形式上看，李超代数是交换环（一般是R或C）上的非结合Z2-分次代数，或“超代数”，其积为[·, ·]，称作李超括号或超交换子，满足两个条件（与分次的通常李代数类似）：

超反对称性（skew-symmetry）：

:[x,y]=-(-1)^[y,x].\

超雅可比恒等式：

:(-1)^[x, [y, z]] + (-1)^[y, [z, x]] + (-1)^[z, [x, y]] = 0,

其中x、y、z在Z2分次中为纯。|x|表示x的度（0或1）。[x,y]的度是x、y度之和模2。

有时，还会在|x|=0时添加公理[x,x]=0（若2可逆，则公理自动成立）；对|x|=1时，有[[x,x],x]=0（若3可逆，则公理自动成立）。当基环是整数或李超代数是自由模时，这些条件等同于庞加莱–伯克霍夫–威特定理成立的条件（一般而言是定理成立的必要条件）。

正如对李代数一样，李超代数的泛包络代数可被赋予霍普夫代数结构。
反交换、在分次意义上雅可比的分次李代数（按Z或N分次）也有Z_2分次（称作将代数“卷”为奇偶部分），但不称作“超”。

性质
令\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1为李超代数。通过观察雅可比恒等式，可发现有8种情况取决于参数的奇偶。以奇元素个数为索引，分成4类：

无奇元素。即\mathfrak g_0为平凡李代数。

1个奇元素。则\mathfrak g_1是作用\mathrm{ad}_a: b \rightarrow [a, b], \quad a \in \mathfrak g_0, \quad b, [a, b] \in \mathfrak g_1的\mathfrak g_0模。

2个奇元素。雅可比恒等式说明括号\mathfrak g_1 \otimes \mathfrak g_1 \rightarrow \mathfrak g_0是对称\mathfrak g_1映射。

3个奇元素。对所有b \in \mathfrak g_1，都有[b,[b,b]] = 0。

因此，李超代数的偶超代数\mathfrak g_0形成（正常）李代数，因为所有符号都消失了，超括号变为普通李括号；而\mathfrak g_1是\mathfrak g_0的线性表示，存在对称\mathfrak g_0等变线性映射\{\cdot,\cdot\}:\mathfrak g_1\otimes \mathfrak g_1\rightarrow \mathfrak g_0使得

:[\left\{x, y\right\},z]+[\left\{y, z\right\},x]+[\left\{z, x\right\},y]=0, \quad x,y, z \in \mathfrak g_1.

条件(1)–(3)是现行的，都可以用普通李代数来理解。条件(4)是飞现行的，且是在从普通李代数（\mathfrak g_0）和表示（\mathfrak g_1）开始构造李超代数时最难验证的条件。

对合
∗李超代数是配备自身到自身的对合反线性映射的复李超代数，映射反映Z2分次且对李超代数中所有x、y都有[x,\ y]^=[y^,\ x^]（有人更喜好约定[x,\ y]^=(-1)^[y^,\ x^]；将改为−可在两种约定之间切换）。其泛包络代数将是普通对合代数。

例子
给定结合超代数A，可通过以下方式定义齐次元素上的超交换子：

:[x,y] = xy - (-1)^yx\

然后线性延伸到所有元素。代数A与超交换子共同构成李超代数。这个过程最简单的例子也许是当A为超向量空间V中所有线性函数\mathbf {End}(V)的空间。V = \mathbb K^{p|q}时，该空间可表为M^{p|q}或M(p|q)。用上述李括号，空间可表为\mathfrak {gl}(p|q)。

同伦群上的怀特海德积给出了许多整数上的李超代数的例子。

超庞加莱代数生成了平面超空间的等距。

分类
维克托·卡茨对简单复有限维李超代数进行了分类：（不包括李代数）
特殊线性李超代数 \mathfrak{sl}(m|n).

李超代数\mathfrak{sl}(m|n)是\mathfrak{gl}(m|n)的超代数，包含超迹为0的矩阵。m\not=n时是简单的；m=n时，单位矩阵 I_{2m} 产生一个理想。对理想取商，可得 \mathfrak{sl}(m|m) / \langle I_{2m} \rangle，对m \geq 2是简单的。

正交辛李超代数 \mathfrak{osp}(m|2n).

考虑\mathbb{C}^{m|2n}上的偶、非退化、超对称双射形式\langle \cdot, \cdot \rangle，则正交辛李超代数是\mathfrak{gl}(m|2n)的超代数，包含的矩阵满足下式不变：\mathfrak{osp}(m|2n) = \{ X \in \mathfrak{gl}(m|2n) \mid \langle X u,v \rangle + (-1)^ \langle u, X v\rangle =0 \text{ for all } u,v \in \mathbb{C}^{m|2n} \}. 其偶部由\mathfrak{so}(m) \oplus \mathfrak{sp}(2n)给出。

例外李超代数 D(2,1;\alpha).

有一族取决于参数\alpha的(9∣8)维李超代数，它们是D(2,1)=\mathfrak{osp}(4|2)的变形。若\alpha\not=0、\alpha\not=-1，则D(2,1,α)是简单的；若\alpha、\beta在映射\alpha \mapsto \alpha^{-1}、\alpha \mapsto -1-\alpha的作用下处于同一轨道，则D(2,1;\alpha) \cong D(2,1;\beta)。

例外李超代数 F(4).

具有维度(24|16)。偶部由\mathfrak{sl}(2) \oplus \mathfrak{so}(7)给出。

例外李超代数 G(3).

具有维度(17|14)。偶部由\mathfrak{sl}(2) \oplus G_2给出。

还有2个所谓“奇异”序列，分别叫做\mathfrak{pe}(n)、\mathfrak{q}(n).

Cartan类型。可分为4族：W(n)、S(n)、\widetilde{S}(2n)、H(n)。对于简单李超代数的Cartan类型，奇部在偶部的作用下不再完全可还原。
无穷维简单线性紧李超代数的分类
分类包含10个系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5个例外代数：

::E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

最后两个特别有趣（据Kac所说），因为它们的零级代数是标准模型规范群SU(3)×SU(2)×U(1)。无穷维（仿射）李超代数是超弦理论中重要的对称，具体来说，具有\mathcal{N}超对称的Virasoro代数是K(1, \mathcal{N})，其只有中心扩展到\mathcal{N} = 4。

范畴论定义
范畴论中，李超代数可定义为非结合超代数，其积满足

*[\cdot,\cdot]\circ ({\operatorname{id}}+\tau_{A,A})=0
*[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes {\operatorname{id}} \circ({\operatorname{id}}+\sigma+\sigma^2)=0
其中σ是循环包络辫({\operatorname{id}} \otimes\tau_{A,A}) \circ (\tau_{A,A}\otimes {\operatorname{id}})。以图表示：

:

另见

• 格尔斯滕哈伯代数
• 任意子李代数
• 外代数
• 李超代数的表示
• 超空间
• 超群
• 泛包络代数

注释
参考文献
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历史
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外部链接
*[https://web.archive.org/web/20081007130152/http://justpasha.org/math/links/subj/lie/kaplansky/ Irving Kaplansky + Lie Superalgebras]