三角恒等式
的角度]] 在数学中，三角恒等式是对出现的所有值都为實变量，涉及到三角函数的等式。这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分：一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则，则通过三角恒等式可简化结果的积分。 符号 为了避免由于\sin^{-1}x的不同意思所带来的混淆，我們經常用下列兩個表格來表示三角函数的倒数和反函数。另外在表示余割函数時，'\csc'有时會寫成比較长的'\mathrm{c…
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平行四邊形恆等式
在数学中，平行四边形恒等式是描述平行四邊形的几何特性的一个恒等式。它等價於三角形的中線定理。在一般的赋范内积空间（也就是定义了长度和角度的空间）中，也有类似的结果。这个等式的最简单的情形是在普通的平面上：一个平行四边形的兩條對角線长度的平方和，等於它四邊长度的平方和。假设这个平行四边形是写作ABCD的话，那么平行四边形恒等式就可以写成： :(AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2 当平行四边形是…
歐拉恆等式
歐拉恆等式是指下列的關係式： : 其中e\,是自然對數的底，i \,是虛數單位，\pi \,是圓周率。 這條恆等式第一次出現於1748年，瑞士數學、物理學家萊昂哈德·歐拉在洛桑出版的書《无穷小分析引论》。這是複分析的歐拉公式之特殊情況。 證明 : e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!（歐拉公式） : e^{i \pi}=\cos \pi+ i \sin \pi\,（代入x=\pi \,） : （因和） : 與歐…
雙曲函數恆等式
a的很多雙曲函数可以在几何上依据以O为中心的雙曲線来构造。]] 在数学中，雙曲函數恆等式是对出现的变量的所有值都为實的涉及到雙曲函數的等式。这些恒等式在表达式中有些雙曲函數需要简化的时候是很有用的。雙曲函數的恆等式有的與三角恆等式類似。就如同三角函數，他有一个重要应用是非雙曲函數的积分：一个常用技巧是首先使用换元积分法，規則與使用三角函数的代换规则類似，则通过雙曲函數恆等式可简化结果的积分。 符号 基本關係 雙曲函數基本恒等式如下： \…
对数恒等式
在数学中，有许多对数恒等式。 代数恒等式 简化计算 对数可以用来简化计算。例如，两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。 消去指数 同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算（就像乘法和除法那样）。 换底公式 :\log_\theta x=\frac{\log_\phi x}{\log_\phi\theta} 在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有和的按钮，但却没有\log_{2}的。要计算\log_2(…
刘维尔公式
刘维尔公式（Liouville's Formula）是一个关于多重积分和欧拉积分（\Gamma函数）的公式，其形式如下： :\int ...\iint_{x_{1},x_{2},...,x_{n}\geqslant0;x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\leqslant1}f\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\right)x_{1}^{p_{1}-1}x_{2}^{p_{2}-1}...x_{n}^{p_{n…
正切半角公式
正切半角公式又称万能公式，这一组公式有四个功能： #将角统一为\frac{\alpha }{2}； #将函数名称统一为\tan； #任意实数都可以\tan \frac{\alpha }{2}的形式表達，可用正切函数换元。 #在某些积分中，可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。 因此，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式求得的。 :\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha…
雅可比-安格展开式
在数学中，雅可比-安格展开式（），或称雅可比-安格恒等式（），是一种将特定形式的复指数函数展开成无穷个谐波分量之和的方法，在物理学（例如在平面波和柱面波之间转换）等领域中有所应用。此展开式以19世纪数学家卡尔·雅可比和的名字命名。 从信号学的角度看，雅可比-安格展开式能够将具有特定频率调制形式的复指数信号展开成无穷个频率为整数倍基频的谐波分量之和，因而可用于对频率调制进行谱线分析。 定义形式 雅可比-安格展开式的定义形式如下： }}
隐函数定理
在数学分析中，隐函数定理（）是一個用來回答下面的問題的工具： 以隐函数表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？ 隐函数定理说明，对于一个由关系 f(x,y) = 0 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有鄰域使得在該鄰域內 可以表示成关于 的函数： :y =h(x) 这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。 舉一個簡單例子：假設兩個變量 滿足隱函數 ，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的…
牛頓恆等式
数学中，牛頓恆等式（）描述了冪和對稱多項式和初等對稱多項式此兩種对称多项式之間的關係。 牛顿在不知道先前的成果下，於約1666年發現這些恆等式。這些恆等式目前已被应用在许多數學领域，如伽罗瓦理论、不變量理論、群论、组合學，也被进一步应用於数学之外，如广义相对论。 数学陳述 對稱多項式 令 x_1, \cdots ,x_n為變量，定義k\geq 1且 p_k(x_1, \cdots, x_n)為k階 冪和: : p_k(x_1,\ldot…
恆等式列表
數學恆等式列表： 定義 恒等式（ Equation）是指等式等号两边永远相等的表达式。恒等式的等号可用恒等号（≡）表示。 乘法公式類 以下是常見的乘法公式： #分配律：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\! #和平方：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\! #三項和平方：(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\,\! #差平方：(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\,\! #三數差平方…
分部積分法
分部積分法又稱作部分積分法（），是一種積分的技巧。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。 規則 假設h(x)\ 與k(x)\ 是兩個連續可導函數。由乘積法則可知 :\frac{{\rm{d}}(hk)}{{\rm{d}}x}=\frac{{\rm{d}}h}{{\rm{d}}x}k +h\frac{{\rm{d}}k}{{\rm{d}}x} 對上述等式…
导数列表
以下的列表列出了许多函数的导数。f 和g是可微函数，而别的皆为常数。用这些公式，可以求出任何初等函数的导数。 一般求导法则 ;線性法则 :{\mbox{d}(Mf)\over\mbox{d}x}=M{\mbox{d}f\over\mbox{d}x};\qquad [Mf(x)]'=Mf'(x) :{{\mbox{d}(f\pm g)}\over{\mbox{d}x}}={\mbox{d}f\over\mbox{d}x}\pm{\mbox…
恒等式
数学上，恒等式（），方程式的一種，特性是恆等號或等號兩邊的表達式无论其变量如何取值，兩邊的結果永远相等。 例子 乘法公式類恆等式 分配律 完全平方 和平方 三數和平方 差平方 平方差 和立方 差立方 立方和 立方差 函数类恒等式 对数恒等式 指数恒等式 三角恒等式 双曲线函数恒等式 超几何函数恒等式 组合恒等式 以人命名的恒等式 贝祖等式 歐拉恆等式 格林恆等式 雅可比恒等式 朱世杰恒等式 范德蒙恒等式 李善兰恒等式 婆罗摩笈多-斐波那…
二年級之夢
二年級之夢(sophomore's dream)是約翰·白努利於1697年發現的兩條有趣的數學恆等式。 : \begin{align} \int_0^1 \frac{1}{x^x} \,\mathrm{d}x &= \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} && \scriptstyle{(= 1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots}…
三分之一角公式
三分之一角公式，為三角恆等式的一種，是三等分角問題在代數上的一個解。由於該解不一定是規矩數因此也可以證明三等分角尺規作圖的不可行性 。 尺規作圖 尺規作圖三等分角已被證實不可行，其也與三分之一角公式非規矩數的推導有關，其證明如下：設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是\theta的角，均可以由尺規作圖得到 角度为\frac{\theta}{3}的角。这等价于说在已知单位长度和\cos{\theta}的时候能做出\cos{\fr…
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式 是以下的恒等式： :\begin{align} \left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) & {}= \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 \ \qquad\qquad(1) \\ & {} = \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2.\qquad\qquad(2)…
欧拉四平方和恒等式
欧拉四平方和恒等式说明，如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。等式为： :(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\, ::(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 +\, ::(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 +\, ::(a_1 b_3 - a…
雅可比恒等式
雅可比恒等式就是下列等式： : [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0. 定義 集合S 有一個二元運算子及可交換二元運算子+滿足雅可比恒等式，如果 : a(bc) + c(ab) + b(c*a) = 0\quad \forall{a,b,c}\in S. 李代数是满足雅可比恒等式的代数结构的一个主要例子。 注意，满足雅可比恒等式的代数结构不一定满足反交換律。
范德蒙恒等式
范德蒙恒等式(英文：Vandermonde's Identity)是一个有关组合数的求和公式。 : \binom {n+m}k = \sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i} 证明 组合方法 甲班有 m个同学，乙班有 n个同学，从两个班中选出 k個同學有\binom {n+m}k种方法。 从甲班选 k-i名，从乙班选 i名有\binom ni \binom m{k-i}种方法，考虑所有情况i=0,1,\ld…