二年級之夢

二年級之夢(sophomore's dream)是約翰·白努利於1697年發現的兩條有趣的數學恆等式。

: \begin{align}
\int_0^1 \frac{1}{x^x} \,\mathrm{d}x
&= \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}
&& \scriptstyle{(= 1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots} ) \\
\int_0^1 x^x \,\mathrm{d}x
&= - \sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n}
&& \scriptstyle{(= 0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots} )
\end{align}

名稱來自於與之相對的一年級之夢，也就是「 」。兩個夢都帶有數學嚇人的簡單表達方式，然而一年級之夢為錯誤的方程式，因為只要將 n=2 帶入就會發現無法形成等式；但是二年級之夢卻是正確的式子。

證明
第一條公式，首先利用對數轉換和積分與級數順序變化：

• 對數轉換 x^{-x} = e^{-x (\ln x)}
• 指數函數的泰勒展開式 e^x =\sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}

得到 \int_0^1 x^{-x}\,dx = \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x\ln x)^n}{n!} \,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{(-\ln x)^n * x^n}{n!} \,dx.

在上式中我們利用了幂級數的均勻收斂性，以交換求和運算及積分運算

設 u = -(n+1)\ln x

則 \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{(-\ln x)^n x^n}{n!} \,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_\infty^0 \frac{u^n e^{-nu}}{n!} (-e^{-u}) \,du = \sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty \frac{u^n e^{-nu}}{n!} (e^{-u}) \,du

再設 v = (n+1)u

\sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty \frac{u^n e^{-nu}}{n!} (e^{-u}) \,du = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n! (n+1)^{n+1}} \int_0^\infty v^{n} e^{-v} \,dv

根據Γ函數， \int_0^\infty v^{n} e^{-v} \,dv = \Gamma(n+1) = n!

最終推得 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n! (n+1)^{n+1}} \int_0^\infty v^{n} e^{-v} \,dv = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^{n+1}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n}
若則積函數為x^x，則可用同法推得\int_0^1 x^x\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^n}

關聯條目
*菲涅耳積分

參考