非初等積分
数学上的非初等積分是指某反導數（或不定積分）是初等函數的反導數，但其自身不是初等函數。1835年的刘维尔定理證明了非初等積分存在。此定理也提供了Risch算法的基礎，可以判定哪些初等函數的反導數也是初等函數（不過不太容易）。 範例 以下是一些其反導數是非初等積分的函數範例： \sqrt{1 - x^4}（对数积分） e^{-x^2}。 初始函數積分的閉包即為劉維爾函數。 相關條目 代數函數 封閉形式 导数 微分代数 积分表 刘维尔定理 …
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共 8 篇文章
指数积分
在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数。 定义 对于实数x，指数积分Ei(x)可以定义为： : \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,\mathrm dt.\, 其中e^t为指数函数。以上的定义可以用于正数x，但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。 对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了。为了避免歧义，我们使用以下的记法： : {\rm E}_1(z) = \int_…
高斯积分
高斯积分（），有时也被称为概率积分，是高斯函数（e−x2）在整个實數線上的积分。它得名于德国数学家兼物理学家卡爾·弗里德里希·高斯之姓氏。 :\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi} 高斯积分用处很广。例如，利用换元积分法，它可以用来计算正态分布的归一化常数。在极限为有限值的时候，高斯积分与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关。在物理学中，这种积分也经常出现：例如在量子力学中，谐振子…
弗雷德霍姆积分方程
在数学中，弗雷德霍姆积分方程（Fredholm integral equation）是一类积分方程，其解构成了弗雷德霍姆理论（Fredholm theory）的基础，该理论研究弗雷德霍姆核（Fredholm kernel）与弗雷德霍姆算子（Fredholm operator）。这种积分方程最早由埃里克·伊瓦爾·弗雷德霍姆提出并加以研究。此类方程的一种有效求解方法是由乔治·阿多米安（George Adomian）提出的阿多米安分解法。 弗…
柯西主值
在微積分中，柯西主值是為某類原來發散的反常積分指派特定數值的方式，為紀念數學家柯西而得此名。 第一類反常積分 第一類反常積分，稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。 設函數 f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上連續且可積。可定義以下第一類反常積分： :\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\…
逐次积分
微积分学的逐次积分（）是在计算多重积分时将其中一些变量视为任意常数，重复进行多次积分而得到的积分。例如，对于二变量函数f ( x, y )的二重积分， 先将y视为常数，并且关于x积分∫ f ( x , y ) dx ，得到关于y的函数，进一步对y进行积分，这就得到了逐次积分。 : \int\left(\int f(x,y)dx\right)dy 考虑逐次积分的概念时，重要的一点就是 : \iint f(x,y)\,dx\,dy 逐次积分…
菲涅耳積分
菲涅耳積分，常被寫作 S(x)和C(x)。以奧古斯丁·菲涅耳為名。 定義 菲涅耳積分可由下面兩個級數求得，對所有x均收斂。 :S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}, :C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2…
二年級之夢
二年級之夢(sophomore's dream)是約翰·白努利於1697年發現的兩條有趣的數學恆等式。 : \begin{align} \int_0^1 \frac{1}{x^x} \,\mathrm{d}x &= \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} && \scriptstyle{(= 1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots}…