在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数。
定义
对于实数x，指数积分Ei(x)可以定义为：
: \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,\mathrm dt.\,
其中e^t为指数函数。以上的定义可以用于正数x，但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。
对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了。为了避免歧义，我们使用以下的记法：
: {\rm E}_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt,\qquad|{\rm Arg}(z)|
当自变量的实数部分为正时，可以转换为：
:{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{e^{-tz}}{t}\,\mathrm dt,\qquad \Re(z) \ge 0.
Ei与E1有以下关系：
:{\rm Ei}(-x\pm {\rm i}0) = - {\rm E}_1(x) \mp {\rm i} \pi,\quad ~~~~~~~~(x>0)
:
-{\rm Ei}(x) = \frac{1}{2} {\rm E}_1(-x+{\rm i} 0) + \frac{1}{2} {\rm E}_1(-x-{\rm i} 0),
\qquad~~~~~~~~(x>0)~.
性质
收敛级数
指数积分可以用以下的收敛级数来表示：
:\mbox{Ei}(x) = \gamma+\ln x+
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!} \,, ~~~~~x>0
:E_1(z) =-\gamma-\ln z+
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} z^k}{k\; k!} \,,~~~~~~~~ {\rm Re}(z)>0
其中~\gamma\approx 0.5772156649015328606...~是欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的，但Ei的定义则需要~x\!>\!0~。
渐近（发散）级数
自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数：
:
E_1(z)=\frac{\exp(-z)}{z} \left[
\sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(-z)^n} +
{\mathcal{O}}\left( \frac{N!}{z^N} \right)
\right]
这个截断和可以用来计算~{\rm Re }(z)\!\gg\! 1~时函数的值。级数中的项数越多，自变量的实数部分就应该越大。
图中描述了以上估计的相对误差。
指数和对数的表现
~ E_1~在自变量较大时的表现类似指数函数，自变量较小时类似对数函数。~E_1~是位于以下两个函数之间的：
:
\frac{\exp(-x)}{2}\!~\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)
\!0
这个不等式的左端在图中用蓝色曲线来表示，中间的黑色曲线是~{\rm E}_1(x)~，不等式的右端用红色曲线来表示。
与其它函数的关系
指数积分与对数积分li(x)有密切的关系：
:li(x) = Ei (ln (x)) 对于所有正实数x ≠ 1。
另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限：
:{\rm E}_1(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-tx}}{t}\,\mathrm dt = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt.
这个函数可以视为把指数积分延伸到负数：
: {\rm Ei}(-x) = - {\rm E}_1(x).\,
我们可以把两个函数都用整函数来表示：
:{\rm Ein}(x) = \int_0^x (1-e^{-t})\,\frac{\mathrm dt}{t}
= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k\; k!}.
利用这个函数，我们可以用对数来定义：
:{\rm E}_1(z) \,=\, -\gamma-\ln z + {\rm Ein}(z),~~~~~~|{\rm Arg}(z)|
以及
:{\rm Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln x - {\rm Ein}(-x),~~~~~~x>0.
指数积分还可以推广为：
:{\rm E}_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt,
它是不完全伽玛函数的一个特例：
: {\rm E}_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).\,
这个推广的形式有时成为Misra函数\varphi_m(x)，定义为：
:\varphi_m(x)={\rm E}_{-m}(x).\,
導數
函数~{\rm E}_n~与~{\rm E}_1~的导数有以下简单的关系：
: {{\rm E}_n} '(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm Arg}(z)|0)
然而，这里假设了~n~是整数；复数~n~的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。在 y=2x的圖形中，其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。
複數變數指數積分
从以下的表示法中
:
{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty
\frac
{\exp(-zt)}
{t}
\,{\rm d} t,
~~~~~~({\rm Re}(z) \ge 0)
可以看出指数积分与正弦积分（Si）和余弦积分（Ci）之间的关系：
:
{\rm E}_1( {\rm i}\!~ x)=
-\frac{\pi}{2}
+{\rm Si}(x)-{\rm i}\cdot {\rm Ci}(x),~~~~~~~~~(x>0)
图中的黑色和红色曲线分别描述了~{\rm E}_1(x)~的实数和虚数部分。
参考文献
*Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. [https://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_227.htm (See Chapter 5)]
- R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
*S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover
外部链接
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