菲涅耳積分

菲涅耳積分，常被寫作 S(x)和C(x)。以奧古斯丁·菲涅耳為名。

定義
菲涅耳積分可由下面兩個級數求得，對所有x均收斂。
:S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},
:C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.

羊角螺线
估計值
C和S的值當變數趨近於無窮大時，可用複變分析的方法求得。用以下這個函數的路徑積分：

:e^{-z^2}

在複數平面上的一個扇型的邊界，其中下邊繞著正x軸，上半邊是沿著y = x, x ≥ 0的路徑，外圈則是一個半徑為R，中心在原點的弧形。

當R趨近於無窮大時，路徑積分沿弧形的部分將趨近於零，而實數軸部分的積分將可由高斯積分

: \int_{y-axis}^{} e^{-z^2}dz = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2}dt =\frac{\sqrt{\pi}}{2},

並且經過簡單的計算後，第一象限平分線的那條積分便可以變成菲涅耳積分。
: \int_{slope}^{} \exp(-z^2)dz = \int_{0}^{\infty} \exp(-t^2e^{i\pi/2})e^{i\pi/4}dt =
e^{i\pi/4} (\int_{0}^{\infty} \cos(-z^2)dz+i\int_{0}^{\infty} \sin(-z^2)dz)

:\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

相关公式
下列一些包含菲涅耳積分的关系式

• \int_{0}^{\infty} e^{-at}\sin(t^2)\mathrm dt=\frac14\sqrt{2\pi}(\cos\frac{a^2}4(1-2{\rm FresnelC}((1/2)a\sqrt2/\sqrt{\pi}))+\sin\frac{a^2}4(1-2\mathrm{FresnelS}((1/2)a\sqrt{2}/\sqrt{\pi})))
• \int\sin(ax^2+2bx+c)\mathrm dx=\frac{ \sqrt{2\pi}(\cos((b^2-ac)/a){\rm FresnelS}(\sqrt{2}(ax+b)/(\sqrt{\pi a}))-\sin((b^2-ac)/a)*{\rm FresnelC}(\sqrt{2}(ax+b)/(\sqrt{\pi a}))) }{2\sqrt{a}}

\int\mathrm{FresnelC}(t)\mathrm dt=\mathrm{FresnelC}(t)t-\frac{\sin\frac{\pi t^2}2}{\pi}

• \int\mathrm{FresnelS}(t)\mathrm dt=\mathrm{FresnelS}(t)*t+\frac{\cos\frac{\pi t^2}2}{\pi}
• \frac{\mathrm d~\mathrm{FresnelC}(t)}{\mathrm dt}=\cos\frac{\pi t^2}2
• \frac{\mathrm d~\mathrm{FresnelS}(t)}{\mathrm dt}=\sin\frac{\pi t^2}2

關聯條目

• 奥古斯丁·菲涅耳
• 羊角螺线

參考資料