阿贝尔求和公式
阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现，广泛应用于数论之中，以便用来计算级数。 恒等式 设a_n 为一列由实数或複數，\phi是一個連續可導函数，则 \sum_{1 \le n \le x} a_n \phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(u)\phi'(u) \, \mathrm{d}u 其中A(x)是部分和 :A(x):= \sum_{1 \le n \le x} a_n \,. 而且这正是對黎曼－斯蒂…
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共 14 篇文章
切萨罗求和
切薩羅求和（）也稱為切薩羅平均（Cesàro mean）或切薩羅極限（Cesàro limit），是由義大利的數學家恩納斯托·切薩羅發明，是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α，則其切薩羅和存在，其值為 α，而有些發散級數也可以用切薩羅求和的方式，計算出切薩羅和。可以計算切薩羅求和的級數是切薩羅可求和的級數。 切薩羅求和可視為是一種特殊的。 切薩羅求和中的「求和」一詞可能會造成誤解，而有關切薩羅求和的敘述和證明也和無窮級數證明的有關。…
佩龙公式
在数学或更具体地，其分支解析数论中，佩龙公式（）源自德國數學家奥斯卡·佩龙，是利用逆梅林变换来计算算术函数的和。 定理陈述 令 \{a(n)\} 为一算术函数，并令 : g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}} 为其对应的狄利克雷级数。假设这狄利克雷级数对 \Re(s)>\sigma 一致收敛，那么佩龙公式为： : A(x) = {\sum_{n\le x}}' a(n) =\frac{1}…
欧拉-麦克劳林求和公式
是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一]] 是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一]] 欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现，该公式提供了一个联系积分与求和的方法，由此可以导出一些渐进展开式。 公式 设为一至少阶可微的函数，{{Smallmath|f= a,b \in \mathbb{Z} }}，则 \begin{align} \sum_{a 其中 表示的阶乘 {{Smallmath|f= f^{(…
博雷爾求和
在數學上，博雷爾求和（）是一種发散级数的求和方法。這種求和法是由提出的，在處理發散的渐近展开時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔-列夫勒和。 定義 博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。 設A(z)是z的一個形式冪級數 :A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_kz^k， 則定義A的博雷爾變換為其…
維度正規化
在量子場論中，維度正規化是一種正規化辦法。Giambiagi、Bollini、 杰拉德·特·胡夫特和马丁纽斯·韦尔特曼都提出了這個辦法。物理學家使用維度正規化來計算费曼图的積分。积分的值是d的亞純函數；d是時空的維度。 其他應用 、分形维数 舉例 : \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{\left(p^2+m^2\right)^2}, 若d = 4 − ε，上文的積分是 : \int_0^\infty \…
泊松求和公式
泊松求和公式（英文：）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。 公式 设无周期函数s(x)具有傅里叶变换： :S(f) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} s(x)\ e^{-i2\pi fx}\, dx 这里的S(f)也可以替代表示为\hat s(f)和 \mathcal{F}\{s\}(f)…
拉馬努金求和
拉馬努金求和（）是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發明的數學技巧，指派一特定值予無限發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統總和的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析、量子力學及弦理論等領域。 求和法 拉馬努金求和法本質上是部分和的性質，而非整個數列的級數和性質，後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用歐拉-麥克勞林求和公式以及伯努利數的修正規則，可得： :\begin…
分部求和法
分部求和法（）也叫阿贝尔变换（，有别于）或阿贝尔引理（）是求和的一种方法。设\{f_k\}和\{g_k\}为两个数列，则有 :\sum_{k=m}^n f_k(g_{k+1}-g_k) = \left[f_{n+1}g_{n+1} - f_m g_m\right] - \sum_{k=m}^n g_{k+1}(f_{k+1}- f_k). 它被用来证明积分第二中值定理。 分部求和公式也可被写成比较对称的方式： :\sum _{i=m+1…
发散级数
发散级数（）是指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数1 + 2 + 3 + 4 + \cdots和1 - 1 + 1 - 1 + \cdots ，也就是说该级数的部分和全部序列没有一个有穷极限。 如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。像调和级数就是每个项趋于零，但不收斂的级数 :1 + \frac{1}{2} + \frac{1…
柯西主值
在微積分中，柯西主值是為某類原來發散的反常積分指派特定數值的方式，為紀念數學家柯西而得此名。 第一類反常積分 第一類反常積分，稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。 設函數 f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上連續且可積。可定義以下第一類反常積分： :\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{u\to -\infty} \int_u^cf(x)\,dx + \lim_{v\…
正規化
物理學中，尤其是量子場論，正規化（）是一項處理無限大、發散以及一些不合理表示式的方法，其方法透過引入一項輔助性的概念——正規子(regulator)。舉例來說，若短距離物理效應出現發散，則設定一項空間中最小距離\epsilon \,來解決這情形。正確的物理結果是讓正規子消失(此例是\epsilon\to 0)的極限情形，不過正規子的用意就在於當它是有限值，理論結果也是有限值的。正規化是將數學中的發散級數的可和性方法(summabilit…
阿贝尔定理
阿貝爾定理是冪級數的一個重要結果。 定理 設f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n為一冪級數，其收斂半徑為R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数z_0，级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收斂，則有: \lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n。 若\sum_{n \geq 0} a_n R^n收斂，則結果顯然成立，無須引用…
赫尔德求和
在数学中，赫尔德求和是一种对发散级数求和的方法，由引进。 定义 给定一个级数 : a_1+a_2+\cdots, \, 定义 :H^0_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \, :H^{k+1}_n=\frac{H^k_1+\cdots+H^k_n}{n} 若极限 :\lim_{n\rightarrow\infty}H^k_n \, 对于某个k存在，则称它为此级数的赫尔德和，或(H,k)和。 参考