阿贝尔求和公式

阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现，广泛应用于数论之中，以便用来计算级数。

恒等式
设a_n 为一列由实数或複數，\phi是一個連續可導函数，则

\sum_{1 \le n \le x} a_n \phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(u)\phi'(u) \, \mathrm{d}u

其中A(x)是部分和

:A(x):= \sum_{1 \le n \le x} a_n \,.

而且这正是對黎曼－斯蒂尔杰斯积分运用分部积分法所得到的。

更一般情況，有

:\sum_{x

例
欧拉-马斯刻若尼常数
设a_n = 1 ，\phi (x) = \frac{1}{x}，則A (x) = \lfloor x \rfloor ，恆等式變為

: \sum_{n=1}^x \frac{1}{n} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x} + \int_1^x \frac{\lfloor u \rfloor}{u^2} \, \mathrm{d}u,

因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。

黎曼ζ函数的表示
设a_n = 1 ，\phi (x) = \frac{1}{x^s}，則A (x) = \lfloor x \rfloor ，故

: \sum_1^\infty \frac{1}{n^s} = s\int_1^\infty \frac{\lfloor u\rfloor}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.

公式在\Re(s) > 1時成立，并且可以用来推导狄利克雷定理，其斷言，若以\zeta 表示黎曼ζ函数，則\zeta(s) 在s = 1處有留数为1的简单極點。

黎曼ζ函数的倒数
设a_n = \mu (n) ，\mu為默比乌斯函数，且\phi (x) = \frac{1}{x^s}，則A (x) = M(x) = \sum_{n \le x} \mu (n) ，故A為梅滕斯函数，而恆等式變成

: \sum_1^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = s \int_1^\infty \frac{M(u)}{u^{1+s}} \mathrm{d}u \,.

上式在\Re(s) > 1 時成立。

参见
*分部积分法
*黎曼ζ函数

参考文献

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