切薩羅求和（）也稱為切薩羅平均（Cesàro mean）或切薩羅極限（Cesàro limit），是由義大利的數學家恩納斯托·切薩羅發明，是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α，則其切薩羅和存在，其值為 α，而有些發散級數也可以用切薩羅求和的方式，計算出切薩羅和。可以計算切薩羅求和的級數是切薩羅可求和的級數。
切薩羅求和可視為是一種特殊的。
切薩羅求和中的「求和」一詞可能會造成誤解，而有關切薩羅求和的敘述和證明也和無窮級數證明的有關。有關切薩羅可求和級數，常被提到的是格蘭迪級數，依照切薩羅求和可得其「和」為1/2。
定義
令{an}為一數列，且令
:s_k = a_1 + \cdots + a_k
為數列前k項的部份和：
:\sum_{n=1}^\infty a_n.
若以下的條件成立，則此數列{an}的切薩羅和存在，且其值為α。
:\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = \alpha.
格蘭迪級數的例子
令 an = (-1)n+1, n ≥ 1。因此{an} 為以下的數列：
:1, -1, 1, -1, \ldots。
其部份和組成的數列 {sn} 為
:1, 0, 1, 0, \ldots；
此數列為格蘭迪級數，不會收斂。
而數列 {(s1 + ... + sn)/n} 的各項分別為
:\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots；
當n趨近於無限大，切薩羅和為如下極限：
:\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2。
因此，數列 {an} 的切薩羅和為 1/2。
推廣
切薩羅在1890年發展了更廣泛的切薩羅和，表示為(C, n)，其中n為非負整數。
(C, 0) 是一般定義下的和，而(C, 1)就是上述的切薩羅和。
n>1時的(C, n) 如下所述：
對於級數Σan, 定義
:A_n^{-1}=a_n; A_n^\alpha=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}
(上面的指数不表示指数)且定義 Enα 為數列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 Anα。
則 Σan 的 (C, α) 和則為
:\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}
若以上數值存在。
这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。
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註解
參考文獻
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