是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一]]
是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一]]
欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现，该公式提供了一个联系积分与求和的方法，由此可以导出一些渐进展开式。
公式
设为一至少阶可微的函数，{{Smallmath|f= a,b \in \mathbb{Z} }}，则
\begin{align}
\sum_{a
其中
*表示的阶乘
*{{Smallmath|f= f^{(n)}(x)}}表示的阶导函数
*{{Smallmath|f= \bar{B}_{n}(x) = B_{n}(\left \langle x \right \rangle)}}，其中
**{{Smallmath|f= B_{n}(x)}}表示第个伯努利多项式
***伯努利多项式是满足以下条件的多项式序列：
***
\begin{cases}
B_0(x) \equiv 1 \\
B'_r(x) \equiv r B_{r-1}(x) \quad (r \ge 1) \\
\int_{0}^{1} B_r(x) \, \mathrm{d} x = 0 \quad (r \ge 1)
\end{cases}
**表示的小数部分
*{{Smallmath|f= B_{n}:=B_{n}(0)=\bar{B}_{n}(0)}}为第个伯努利数
证明
证明使用数学归纳法以及黎曼－斯蒂尔杰斯积分，下文中假设的可微次数足够大，{{Smallmath|f= a,b \in \mathbb{Z} }}。
为了方便，将原式的各项用不同颜色表示：
\sum_{a
k=0的情形
容易算出
\bar{B}_1(t)={\color{Purple}\left \langle t \right \rangle - \frac{1}{2}}
\begin{align}
\sum_{a
其中橙色的项通过分部积分可化为
\begin{align}
{\color{BurntOrange}\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}\bar{B_1}(t)} & = (f(t)\bar{B_1}(t))|_{t=a}^{t=b} - \int_{a}^{b} \bar{B_1}(t) \, \mathrm{d}f(t) \\
& = f(b)B_1(\left \langle b \right \rangle)-f(a)B_1(\left \langle a \right \rangle) - {\color{blue}\int_{a}^{b} \bar{B_1}(t)f'(t) \, \mathrm{d}t} \\
& = {\color{OliveGreen}B_1 \cdot (f(b)-f(a))} - {\color{blue}\int_{a}^{b} \bar{B_1}(t)f'(t) \, \mathrm{d}t} \\
\end{align}
假设k=n-1时原式成立
\sum_{a
处理积分（蓝色项）
\begin{align}
{\color{blue} \frac{(-1)^{n-1}}{n!} \int_{a}^{b} \bar{B}_{n}(t)f^{(n)}(t) \, \mathrm{d}t} & = \frac{(-1)^{n-1}}{n!} \int_{a}^{b} \frac{\bar{B'}_{n+1}(t)}{n+1}f^{(n)}(t) \, \mathrm{d}t \\
& = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} \int_{a}^{b} \bar{B'}_{n+1}(t)f^{(n)}(t) \, \mathrm{d}t \\
& = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} \int_{a}^{b} f^{(n)}(t) \, \mathrm{d}\bar{B}_{n+1}(t) \\
& = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} ((f^{(n)}(t)\bar{B_{n+1}}(t))|_{t=a}^{t=b} - \int_{a}^{b} \bar{B}_{n+1}(t) \, \mathrm{d}f^{(n)}(t)) \\
& = \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!} (f^{(n)}(b)B_{n+1}(\left \langle b \right \rangle)-f^{(n)}(a)B_{n+1}(\left \langle a \right \rangle) - \int_{a}^{b} \bar{B}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t) \\
& = \frac{(-1)^{n-1}B_{n+1}}{(n+1)!}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a)) - \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)!}\int_{a}^{b} \bar{B}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t) \\
& = {\color{OliveGreen}\frac{(-1)^{n+1}B_{n+1}}{(n+1)!}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a))} + {\color{blue}\frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}\int_{a}^{b} \bar{B}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t)} \\
\end{align}
将处理后的积分代入
\begin{align}
\sum_{a
得到想要的结果。
余项（积分项）估计
欧拉-麦克劳林求和公式的精确度通常不一定随着的增加而增加，相反地，如果相当大，则积分项也会很大。右图是在计算调和级数的前100项时用Mathematica算出不同的对应的积分项的绝对值：
时的误差项]]
应用
通过欧拉-麦克劳林求和公式可以给出黎曼ζ函数的渐进式：
\begin{align}
\zeta(s) & = \sum_{n=1}^{N-1} n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} + \frac{1}{2}N^{-s} \\
& \quad + \frac{B_2}{2}s N^{-s-1} + ... + \frac{B_{2 \nu}}{(2 \nu)!} s(s+1)...(s+2 \nu -2) N^{(-s-2 \nu +1)}+R_{2 \nu}
\end{align}
其中
R_{2 \nu}= -\frac{s(s+1)...(s+2 \nu -1)}{(2 \nu)!} \int_{N}^{\infty} \bar{B}_{2 \nu}(x)x^{-s-2 \nu} \, \mathrm{d}x
其他形式
欧拉-麦克劳林求和公式有时也被写成如下形式：
\sum_{y
这是欧拉给出的原始形式。
参考文献
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